Index général
Cours de Mathématiques
Les mathématiques sont la science des nombres, des formes, des structures et des relations logiques. Fondées sur le raisonnement et la démonstration, elles permettent de modéliser le réel et jouent un rôle essentiel dans les sciences, l’ingénierie, l’économie et l’informatique et bien d'autres domaines.
Ce site propose un vaste panorama des mathématiques, de leurs fondements à leurs applications. Organisée en quinze grandes sections, elle aborde l’arithmétique, la géométrie, les symétries, la trigonométrie, l’analyse, l’algèbre linéaire, les probabilités, la statistique et l’analyse des données.
Le parcours s’étend également à la théorie des jeux, aux mathématiques de la physique, à la finance quantitative, à la géodésie, à la cartographie et à la géométrie du bâti. Théorèmes classiques, courbes et surfaces, transformations, modèles aléatoires et exemples concrets composent ainsi un ensemble progressif reliant concepts théoriques, représentations visuelles et applications scientifiques, techniques ou architecturales.
Tout ce qui a été construit est rangé par thème plutôt que par date, vous trouverez ici plus de cent-quarante exercices, répartis sur quinze domaines.
Chaque carreau ci-dessous est un exercice. Survolez pour lire le titre, cliquez pour y aller.
Planche de garde
Un bloc par domaine, dans l'ordre des sections. plus de 140 pages, toutes construites.
I
Arithmétique et théorie des nombres
Le domaine où l'expérience numérique précède la preuve : on regarde d'abord, on démontre ensuite — quand on y arrive.
I.1
L'Arithmétique et l'Algèbre
L’arithmétique est la branche des mathématiques consacrée aux nombres et aux opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication et division.
Elle étudie également les propriétés des nombres entiers, comme la divisibilité, les nombres premiers, les multiples et les diviseurs.
L’algèbre est une branche des mathématiques qui utilise des lettres et des symboles pour représenter des nombres et des relations.
Elle permet de généraliser les calculs, de résoudre des équations et d’étudier des structures mathématiques.
En savoir plus sur l'arithmétique et l'algèbre
I.2
La numération en base n
La numération en base \(n\) utilise \(n\) chiffres, de \(0\) à \(n-1\). Chaque position représente une puissance de \(n\).
Ainsi, le nombre \((a_k\dots a_1a_0)_n\) vaut : aknk+....+a1n+a0, avec 0 ≤ a_i < n
Exemple : (231)₄ = 2×4² + 3×4 + 1 = 45 en base 10.
En savoir plus sur la numération en base n
I.3
Le jeu de Nim
Le jeu de Nim consiste à retirer des objets d’un seul tas à chaque tour ; celui qui prend le dernier gagne.
Pour déterminer la stratégie, on écrit la taille de chaque tas en base 2 et on calcule leur somme XOR (addition binaire sans retenue). Si le résultat vaut \(0\), la position est perdante ; sinon, un coup permet généralement de ramener ce résultat à \(0\).
En savoir plus sur Le jeu de Nim et la numération base 2
I.4
La répartition des nombres premiers
Exploration interactive des nombres premiers : crible d’Ératosthène animé jusqu’à 1 600, fonctions de comptage comparées aux approximations classiques, spirale d’Ulam, écarts entre premiers, nombres premiers jumeaux et biais de Tchebychev.
Point d’orgue : la formule explicite de Riemann — l'escalier ψ(x) reconstruit zéro après zéro, et l'onde isolée d'un seul zéro et révèle l’oscillation de chacun d’eux en fonction de ln x et de période 2π/γ.
En savoir plus sur la répartition des nombres premiers
I.5
La relation de Bézout, et ce qu'elle fait des nombres premiers
La relation de Bézout affirme que, pour deux entiers \(a\) et \(b\), il existe des entiers \(u,v\) tels que
\[
au+bv=\operatorname{PGCD}(a,b).
\]Ainsi, \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement si \(au+bv=1\).
Si \(p\) est premier et ne divise pas \(a\), alors \(\operatorname{PGCD}(p,a)=1\) : Bézout montre que \(a\) possède un inverse modulo \(p\). On en déduit aussi le lemme d’Euclide : si \(p\mid ab\), alors \(p\mid a\) ou \(p\mid b\).
En savoir plus sur la relation de Bézout, et ce qu'elle fait des nombres premiers
I.6
Le polynôme d'Euler
Le polynôme d’Euler
\[
P(n)=n^2+n+41
\]produit un nombre premier pour tout entier \(n\) de \(0\) à \(39\). Par exemple, \(P(0)=41\) et \(P(1)=43\).
Mais il ne produit pas toujours des nombres premiers : \(P(40)=41^2\). Il illustre qu’un polynôme peut générer beaucoup de nombres premiers consécutifs sans en générer exclusivement.
En savoir plus sur le polynôme d'Euler
I.7
Le plus grand commun diviseur (PGCD)
Le plus grand commun diviseur, noté \(\operatorname{PGCD}(a,b)\), est le plus grand entier positif qui divise simultanément deux entiers \(a\) et \(b\).
Par exemple :
\[
\operatorname{PGCD}(18,24)=6.
\]Si leur PGCD vaut \(1\), les deux nombres sont dits premiers entre eux.
En savoir plus sur le plus grand commun diviseur (PGCD)
I.8
Le plus petit commun multiple (PPCM)
Le plus petit commun multiple, noté \(\operatorname{PPCM}(a,b)\), est le plus petit entier positif qui est à la fois multiple de \(a\) et de \(b\).
Par exemple :
\[
\operatorname{PPCM}(6,8)=24.
\]Il vérifie la relation :
\[
\operatorname{PGCD}(a,b)\times\operatorname{PPCM}(a,b)=|ab|.
\]
En savoir plus sur le plus petit commun multiple (PPCM)
I.9
Les congruences
En mathématiques, une congruence exprime que deux nombres ont le même reste dans une division par un entier donné.
On écrit :
\[
a \equiv b \pmod n
\]Cela signifie que \(a-b\) est divisible par \(n\).
Exemple :
\[
17 \equiv 2 \pmod 5
\]car \(17\) et \(2\) ont le même reste modulo \(5\), et \(17-2=15\) est divisible par \(5\).
En savoir plus sur les congruences
I.10
Encryptage et chiffrement
Le chiffrement (ou encryptage) transforme des données lisibles en données incompréhensibles à l’aide d’un algorithme et d’une clé, afin de les protéger. Le détenteur de la clé appropriée peut les déchiffrer.
En savoir plus sur l'encryptage et le chiffrement
I.11
Les nombres complexes
Les nombres complexes étendent les nombres réels en introduisant le nombre \(i\), tel que \(i^2=-1\). Ils permettent de résoudre certaines équations impossibles dans les réels et de représenter simplement les rotations, les oscillations et les ondes. Ils sont notamment utilisés en électricité, en physique quantique, en traitement du signal et en ingénierie.
En savoir plus sur les nombres complexes
I.12
Les fractions continues et l'arbre de Stern–Brocot
Exploration interactive de l’approximation des irrationnels par les fractions continues : anthyphairèse géométrique, réduites et erreur en 1/q², arbre de Stern–Brocot, cercles de Ford et seuil de Hurwitz.
Point d’orgue : le nombre d’or, « nombre le plus irrationnel », illustré par un tournesol au remplissage optimal en 1/φ²
(L’anthyphairèse géométrique est l’ancienne version géométrique de l’algorithme d’Euclide. Elle consiste à retrancher répétitivement le plus petit segment du plus grand pour trouver leur mesure commune).
En savoir plus sur les fractions continues et l'arbre de Stern–Brocot
II
Géométrie du plan et de l'espace
La série la plus fournie : droites remarquables poussées jusqu'à la quatrième dimension, courbes engendrées mécaniquement, intersections de surfaces en vue orbitale et solides de révolution.
II.1
La géométrie dans le plan et dans l'espace
La géométrie plane étudie les figures à deux dimensions, comme les droites, les triangles et les cercles. La géométrie dans l’espace concerne les objets à trois dimensions, tels que les cubes, les sphères et les pyramides.
Elles analysent leurs formes, leurs dimensions, leurs positions ainsi que le calcul des longueurs, des aires et des volumes.
En savoir plus sur la géométrie dans le plan et dans l'espace
II.2
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[
a^2+b^2=c^2
\]où \(c\) est l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit.
En savoir plus sur le théorème de Pythagore
II.3
La droite d'Euler par la géométrie Euclidienne
La géométrie euclidienne est la géométrie classique, formalisée par Euclide dans l’Antiquité. Elle étudie les figures dans un espace « plat » et repose notamment sur le postulat des parallèles.
Dans tout triangle non équilatéral, trois points remarquables sont alignés. La droite qui les contient porte le nom de droite d’Euler.
En savoir plus sur la droite et le cercle d'Euler par la géométrie Euclidienne
II.4
La droite d'Euler par la géométrie analytique
Sommets déplaçables, G obtenu par moyenne des coordonnées, O et H par résolution de deux systèmes linéaires indépendants, puis vérification de l'alignement et du rapport OH = 3·OG. Cercle des neuf points en bonus.
En savoir plus sur la droite d'Euler par la géométrie analytique
II.5
Droite d'Euler du tétraèdre et point de Monge
Vue 3D orbitale, coordonnées éditables, O et M par systèmes 3×3 (plans médiateurs contre plans de Monge), alignement OM = 2·OG avec G milieu de [OM], sphère d'Euler de rayon R/3. Préréglages orthocentrique, régulier, aplati.
En savoir plus sur la droite d'Euler du tétraèdre (3D)
II.6
La droite d'Euler d'un 4-simplexe
Projection 4D → 3D → 2D avec rotation dans les plans (x,w) et (y,z), vingt coordonnées éditables, dix hyperplans de Monge, colinéarité testée par les six mineurs 2×2, OM = 5/3·OG et hypersphère d'Euler de rayon R/4.
En savoir plus sur la droite d'Euler d'un 4-simplexe (4D)
II.7
Le tétraèdre en mouvement
La quatrième dimension prise cette fois comme temps : lignes d'univers P(t) = P₀ + vt + ½at², théorème du centre de masse, v_O et a_O par dérivation implicite du même système, relation v_M = 2v_G − v_O, invariance galiléenne et singularités d'aplatissement où R diverge.
En savoir plus sur le tétraèdre en mouvement
II.8
II.9
II.10
Le théorème de Pascal — l'hexagramme mystique
Hexagone inscrit dans une conique quelconque : les trois intersections des côtés opposés restent alignées quand on déforme tout.
En savoir plus sur le Théorème de Pascal
II.11
Les cercles de Villarceau
Tore en projection avec estompage des arêtes lointaines, plan bitangent qui bascule, apparition des deux cercles obliques, puis les quatre cercles qui passent par un même point M. Rayon du tube réglable, α = arcsin(r/R) recalculé en direct.
En savoir plus sur les cercles de Villarceau
II.12
Génération d'une cissoïde
Un pôle et deux courbes : selon la position de la droite, on obtient la cissoïde de Dioclès, la strophoïde droite ou les cissoïdes obliques.
En savoir plus sur la cissoïde
II.13
Génération d'une strophoïde par cercle de report
Droite fixe, pôle, point fixe A : la position de A fait passer de la strophoïde droite aux strophoïdes obliques.
En savoir plus sur la strophoïde
II.14
Génération d'une conchoïde
Courbe de base, pôle, longueur constante reportée : conchoïde de Nicomède quand la base est une droite, limaçon de Pascal quand c'est un cercle — cardioïde et trisecteur selon b.
En savoir plus sur la conchoïde
II.15
Épicycloïdes
Roulement d'un cercle sur un autre, avec le rapport des rayons en curseur et le tracé qui se referme ou non selon sa rationalité.
En savoir plus sur l'Épicycloïde
II.16
II.17
II.18
II.19
II.20
La cloche de Gauss en révolution
La cloche mise à tourner autour de son axe, maillage et lignes de niveau.
Courbe génératrice 𝒩(μ = 1 ; σ) dont l'aire est vérifiée égale à 1 avant toute révolution ; surface engendrée à écart-type variable σ(θ) = 0,23 − 0,07 cos θ, commandée par curseur ; quatre profils cardinaux superposés pour lire la déformation ; volume du solide par intégration numérique convergeant vers le contrôle σ̄√(2π) = 0,576525, recoupé en Monte-Carlo. Signature : la coupe qui tourne — un demi-plan balayant de 0 à φ, dont le volume cumulé ne croît pas linéairement mais s'accélère vers 180°.
En savoir plus sur la cloche de Gauss en révolution
II.21
III
Symétrie et pavages
Six pages qui s'enchaînent, de la brique élémentaire au théorème de classification : les isométries, ce qu'elles interdisent, la trame qu'elles préservent, les dix-sept groupes qui en résultent, et l'addition qui les compte.
III.1
Les quatre isométries du plan
Toute isométrie ramenée à trois nombres — un angle, un signe d'orientation, un vecteur — dont l'espèce, le centre, l'axe et le glissement sont déduits par le calcul ; tableau à deux entrées (orientation conservée ? point fixe ?) s'allumant sur la case courante ; décomposition constructive en zéro à trois miroirs par médiatrices successives, avec la parité qui confirme l'orientation ; table de composition 4×4 calculée en direct et non-commutativité montrée en comparant f∘g et g∘f ; les sept frises et leurs générateurs. Signature : transporter une isométrie — la conjuguée g f g⁻¹ garde toujours l'espèce, et son centre, son axe ou son vecteur est exactement l'image par g de celui de f.
En savoir plus sur les quatre isométries du plan
III.2
La restriction cristallographique
Trois démonstrations indépendantes du même théorème : le vecteur trop court avec |A′B′| = d·|2cos θ − 1| ; le semis qui se remplit, où la distance minimale reste fixe pour n = 3, 4, 6 et s'effondre en puissances de 1/φ pour n = 5 ; et la trace entière, obtenue en exprimant la rotation dans la base du réseau. Puis l'énumération exhaustive des matrices entières 2×2 d'ordre fini et la généralisation φ(n) ≤ d, où l'ordre 5 réapparaît en dimension 4. Signature : la faille — quasi-cristaux obtenus par coupe et projection depuis ℤ⁵, ℤ⁴ et ℤ⁶, avec figure de diffraction calculée par sommation directe, pics nets et aucune période.
En savoir plus sur la restriction cristallographique
III.3
Les cinq réseaux
Une infinité de bases pour un même semis, reliées par les matrices entières de déterminant ±1, et une seule aire invariante ; réduction de Gauss déroulée pas à pas jusqu'à la base la plus courte ; comptage des automorphismes préservant la matrice de Gram, qui donne 2, 4, 8 ou 12 et rien d'autre ; cellule de Voronoï à quatre ou six côtés, jamais cinq. Signature : l'espace de tous les réseaux — le demi-plan modulaire pavé par le groupe modulaire, où les cinq types sont les cinq strates d'un seul triangle curviligne : intérieur, deux bords, deux sommets.
En savoir plus sur les cinq réseaux
III.4
Les dix-sept groupes de pavage
La page d'ensemble, qui parcourt la chaîne complète : les quatre isométries et la composition de deux miroirs, la restriction cristallographique, les cinq réseaux avec leur cellule de Voronoï, puis la galerie des dix-sept engendrée par leurs tables de transformations en coordonnées fractionnaires, avec les éléments de symétrie déduits par classification de chaque transformation et des comptages par maille conformes aux tables cristallographiques. Signature : le théorème magique — l'énumération des signatures orbifold de coût 2 qui en retrouve exactement dix-sept.
En savoir plus sur les dix-sept groupes de pavage
III.5
Les dix-sept vignettes, en détail
La collection prise pour elle-même : galerie en vignettes rangeable par réseau ou par ordre ; clé de détermination dichotomique dont les réponses sont calculées depuis les tables et donnent dix-sept lignes deux à deux distinctes ; les faux jumeaux comparés côte à côte, centres pleins sur miroir contre centres creux — p3m1 trois sur trois contre p31m un sur trois ; domaine fondamental construit comme cellule de Dirichlet, dont l'aire multipliée par l'ordre vaut exactement l'aire de la maille pour les dix-sept. Signature : dessinez votre papier peint — un trait tracé à la souris, propagé en direct par le groupe choisi.
En savoir plus sur les dix-sept vignettes
III.6
Le théorème magique de Conway
Le coût d'une signature, symbole par symbole, avec une caisse en barres empilées face à la barre du 2 ; les trois régimes séparés par ce seul nombre, sphérique en deçà, euclidien dessus, hyperbolique au-delà ; l'arbre des sept branches de la démonstration, où l'ordre maximal utile vaut 6 et retrouve la restriction cristallographique par pure comptabilité ; les quatorze types de la sphère. Signature : le même triangle dans trois géométries — un unique moteur de pavage par réflexions, où le signe d'un discriminant bascule le rendu entre sphère, plan euclidien et disque de Poincaré.
En savoir plus sur le théorème magique de Conway
IV
Trigonométrie
La trigonométrie étudie les relations entre les angles, les longueurs et les fonctions sinus, cosinus et tangente. Elle permet aussi de comprendre les rotations, les mouvements périodiques et les phénomènes ondulatoires.
Trois pages écrites à la file après une explication générale du sujet : ce que les tables donnaient, ce que les formules démontrent, et ce que le calcul flottant abîme quand on n'y prend pas garde.
IV.1
La trigonométrie
Son nom même l'indique : la trigonométrie est la mesure des triangles. Son origine est ancienne puisque Ptolémée l'utilise de fait dès le IIe siècle. Le sinus tel que nous l'écrivons vient de l'Inde, mal traduit en latin par sinus. L'identité sin² + cos² = 1 n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore écrit sur l'hypoténuse de longueur 1.
En savoir plus sur la trigonométrie
IV.2
Les formules d'addition
Une première construction géométrique montre comment obtenir un point P à partir de deux angles a et b. Elle permet de retrouver visuellement les célèbres formules d'addition : cos(a+b)=cos a*cos b-sin a*sin b et sin(a+b)=sin a*cos b+ cos a*sin b.
Ces formules peuvent également être comprises grâce aux rotations. Effectuer une rotation d'angle b, puis une rotation d'angle a, revient exactement à effectuer une seule rotation d'angle (a+b).
En savoir plus sur les formules d'addition
IV.3
La résolution des triangles quelconques
Cette partie montre comment déterminer les côtés et les angles d'un triangle à partir de quelques informations connues. La loi des sinus relie les trois côtés aux angles opposés et au rayon R du cercle circonscrit : (a/sina) = (b/sinb) = (c/sinc) = 2R. Le cercle circonscrit est construit géométriquement à l'aide des médiatrices des côtés, ce qui permet de vérifier visuellement cette relation.
La loi des cosinus, appelée aussi formule d'Al-Kashi, généralise le théorème de Pythagore : c2=a2+b2-2ab/cos C. Elle permet de calculer un côté ou un angle lorsque certaines autres dimensions du triangle sont connues.
Plusieurs situations sont étudiées : connaître trois côtés, deux côtés et l'angle compris, ou encore un côté et deux angles. Les données connues sont distinguées des valeurs calculées et la résolution est présentée étape par étape. Le programme vérifie également que les longueurs données permettent réellement de construire un triangle.
En savoir plus sur la résolution des triangles quelconques
IV.4
Les fonctions réciproques
Les fonctions arcsin, arccos et arctan permettent de retrouver un angle à partir de la valeur de son sinus, de son cosinus ou de sa tangente. Pour comprendre graphiquement ces fonctions inverses, on part des courbes du sinus, du cosinus ou de la tangente, puis on les retourne par rapport à la droite (y=x). Comme ces fonctions ne sont pas inversibles sur tout leur domaine, on doit d'abord en choisir une partie adaptée.
Sur le cercle trigonométrique, une même valeur x peut être interprétée de plusieurs façons : comme un sinus, comme un cosinus ou à l'aide de la tangente.
Certaines compositions de fonctions trigonométriques et de leurs inverses donnent des formes surprenantes, comme des ondes triangulaires ou des dents de scie. Ces formes proviennent du fait que les angles sont ramenés dans les intervalles où les fonctions inverses sont définies.
Calculer π avec les fonctions trigonométriques : les fonctions arctangente permettent aussi de calculer le nombre π. Certaines identités expriment π comme une combinaison de plusieurs valeurs d'arctangente.
En savoir plus sur les fonctions réciproques
V
Perspective et représentation
Une seule formule, h′ = f·H/z, prise successivement comme théorème, comme méthode de tracé, comme instrument d'architecte et comme fil historique.
V.1
La perspective, panorama accessible
La perspective explique mathématiquement comment un objet en trois dimensions est représenté sur une surface plane. Un cube est utilisé pour montrer concrètement cette transformation. Chaque sommet est relié à l'œil de l'observateur par une ligne de visée, et l'endroit où cette ligne rencontre le tableau donne la position du sommet dans le dessin.
Les droites parallèles qui s'éloignent dans l'espace semblent se rejoindre en un point de fuite. On peut vérifier géométriquement que ce point correspond bien à l'endroit où se rencontrent leurs prolongements sur le dessin.
La perspective modifie les longueurs et les distances apparentes, mais certaines relations géométriques restent inchangées. C'est notamment le cas du birapport, propriété importante de la géométrie projective. Les coordonnées homogènes constituent une manière pratique de décrire mathématiquement la perspective. Elles permettent notamment de traiter les points de fuite comme les images de directions qui se prolongent vers l'infini.
Une formule simple résume le principe : taille sur l'image = focale × taille réelle ÷ distance. Ainsi, plus un objet est éloigné, plus son image est petite. Cette même idée relie cinq siècles de perspective : des méthodes mises au point par Alberti au XVe siècle jusqu'aux systèmes modernes de photographie, de cartographie et d'observation par satellite. De Brunelleschi à Poncelet, la perspective est ainsi passée d'une technique utilisée par les artistes à une véritable théorie mathématique, aujourd'hui employée en photographie, en architecture, en informatique, en vision artificielle et en imagerie satellitaire.
En savoir plus sur un panorama de la perspective
V.2
Le fondement mathématique de la perspective
La perspective centrale permet de représenter un objet en trois dimensions sur une surface plane, comme une toile ou une feuille de papier. Lorsqu'un objet s'éloigne de l'observateur, il paraît plus petit selon une loi mathématique précise : sa taille apparente diminue en proportion de sa distance. Les droites parallèles qui s'éloignent dans une même direction semblent se rejoindre en un point de fuite situé sur la ligne d'horizon. En revanche, les droites parallèles au tableau restent parallèles et ne possèdent pas de point de fuite. Certains rapports de longueurs sont déformés par la perspective, mais une grandeur plus profonde appelée birapport reste toujours conservée. C'est l'un des invariants fondamentaux de la géométrie projective.
En résumé : la perspective n'est pas seulement une technique artistique ; c'est une application directe de la géométrie projective, qui relie la vision humaine, les mathématiques et l'art.
En savoir plus sur la perspective
V.3
Aide à la la perspective: le théorème de Desargues
Deux triangles sont dits en perspective depuis un point O lorsque les droites reliant leurs sommets correspondants passent toutes par ce même point O. Considérons deux triangles ABC et A′B′C′. Si les trois droites AA′, BB′ et CC′ se rencontrent en un même point O, alors on prolonge les côtés correspondants des deux triangles : AB et A′B′ se coupent en un point P ; BC et B′C′ se coupent en un point Q ; CA et C′A′ se coupent en un point R.
Le théorème de Desargues affirme alors que les trois points P, Q et R sont toujours alignés. La droite qui les contient est appelée axe de perspective des deux triangles. Le résultat fonctionne également dans l'autre sens : si les intersections des trois paires de côtés correspondants sont alignées, alors les droites reliant les sommets correspondants AA′, BB′ et CC′ sont concourantes.
Il existe donc une remarquable correspondance : un point commun O pour les sommets ↔ une droite commune pour les intersections des côtés.
Ce théorème, formulé par Girard Desargues au XVIIᵉ siècle, est l'un des résultats fondateurs de la géométrie projective. Il montre que certaines propriétés géométriques restent vraies malgré les transformations produites par la perspective.
En savoir plus sur le théorème de Desargues
V.4
Construire une perspective, pas à pas
Cinq animations expliquent pas à pas comment construire une perspective, avec des boutons ◀ ▶, des commentaires et un curseur permettant de suivre la progression.
Elles montrent successivement comment : tracer la ligne de terre ; construire un sol en damier grâce au point de distance ; reporter correctement les hauteurs ; construire un volume en perspective à partir de son dessin au sol.
Exemple final : une rue entière est construite uniquement à la règle, sans mesurer les distances. Les bâtiments et leurs sommets sont placés grâce aux règles géométriques de la perspective, avec une très grande précision.
En savoir plus sur la construction de la perspective
V.5
La perspective au service de l'architecture
Quatre exemples célèbres montrent comment la perspective peut tromper l'œil et modifier notre perception de l'espace :
Au palais Spada, Borromini fait paraître une galerie de moins de 9 mètres beaucoup plus longue, et une petite statue beaucoup plus grande.
À San Satiro, Bramante donne l'impression d'un chœur profond alors qu'il ne dispose que d'environ un mètre de profondeur réelle.
À Sant'Ignazio, Pozzo utilise une peinture en perspective qui donne l'illusion d'une véritable architecture lorsqu'on l'observe depuis un emplacement précis. Certains éléments architecturaux changent progressivement de dimensions afin de conserver la même apparence pour l'observateur.
Dans les jardins de Vaux-le-Vicomte, Le Nôtre utilise également la perspective pour corriger les formes et les distances. Le jardin n'est donc pas seulement conçu selon sa géométrie réelle : il est aussi construit en fonction de ce que l'œil du visiteur doit percevoir.
En savoir plus sur la perspective dans l'architecture
VI
Analyse mathématique
L’analyse mathématique est la branche des mathématiques qui étudie principalement les fonctions, leurs variations, leurs limites et les transformations qu’elles subissent. Elle fournit les outils permettant de décrire des phénomènes qui évoluent, que cette évolution se fasse dans le temps, dans l’espace ou en fonction d’un autre paramètre.
Elle repose notamment sur les notions de limite, continuité, dérivée, intégrale, équation différentielle, série et transformation de fonctions.
Les systèmes dynamiques prolongent naturellement cette idée : ils étudient comment un état évolue au cours du temps selon une règle déterminée. Ils permettent de passer de phénomènes simples et réguliers à des comportements oscillants, instables ou même chaotiques.
VI.1
Les bases de l'analyse mathématiques
L’analyse mathématique étudie les fonctions et leurs variations. Ses notions fondamentales sont les limites, la continuité, les dérivées et les intégrales.
Elles permettent de décrire les évolutions, de déterminer des extrema, de calculer des aires et de modéliser de nombreux phénomènes scientifiques.
En savoir plus sur les bases de l'analyse
VI.2
Les familles de fonctions usuelles
Ce passage présente de manière interactive les principales familles de fonctions et quelques-unes de leurs propriétés. La droite f(x)=ax+b : on montre que sa pente est toujours égale à a, quels que soient les deux points choisis.
Les puissances xn : on observe comment leur forme change lorsque l'exposant augmente, ainsi que la différence entre puissances paires et impaires.
L'hyperbole : on visualise ses asymptotes et une propriété remarquable liée à une aire constante.
Exponentielle et logarithme : leurs courbes sont symétriques par rapport à y=x, car ces deux fonctions sont réciproques. On étudie aussi la croissance très rapide de l'exponentielle.
En savoir plus sur Les familles de fonctions usuelles
VI.3
Les équations
Une équation est une égalité mathématique contenant une ou plusieurs inconnues. La résoudre consiste à trouver les valeurs des inconnues qui rendent l’égalité vraie.
Exemple :
\[
2x + 3 = 9
\]Sa solution est \(x = 3\), car \(2 \times 3 + 3 = 9\).
En savoir plus sur les équations
VI.4
Les variations des fonctions
La croissance et la décroissance d’une fonction se définissent simplement en comparant les valeurs de la fonction en deux points, sans utiliser de dérivée. Cinq animations montrent ensuite progressivement comment : déterminer si une fonction est croissante ou décroissante ; passer de la corde entre deux points à la tangente ; utiliser le signe de la dérivée f'(x) pour connaître le sens de variation ; construire un tableau de variations ; comprendre qu’une fonction peut avoir un minimum sans nécessairement être croissante d’un côté et décroissante de l’autre.
L'idée essentielle : la dérivée permet de relier la pente locale de la courbe à l'évolution générale de la fonction.
En savoir plus sur les variations des fonctions
VI.5
Les primitives et intégrales
Les primitives et les intégrales permettent de mesurer une accumulation : une distance parcourue, une quantité produite, une aire, un volume ou encore une énergie. La primitive est l'opération inverse de la dérivée. L'intégrale permet notamment de calculer l'aire située entre la courbe d'une fonction et l'axe horizontal.
En savoir plus sur les primitives et intégrales
VI.6
Les limites et continuité des fonctions
Les notions de limite et de continuité permettent d'étudier ce qui arrive à une fonction lorsque x) se rapproche d'une valeur donnée, devient très grand ou très petit. Elles sont fondamentales en analyse, car elles servent ensuite à définir rigoureusement les dérivées, les intégrales et les séries.
La limite décrit le voisinage d'un point ; la valeur de la fonction décrit le point lui-même.
Les différentes ruptures de continuité : une fonction peut ne pas être continue pour plusieurs raisons. Une première possibilité est un trou dans la courbe : la limite existe mais la fonction n'a pas la bonne valeur à cet endroit. Une deuxième possibilité est un saut : les limites à gauche et à droite sont différentes. Une troisième possibilité est une asymptote verticale. Dans ces situations, on parle de discontinuité.
En savoir plus sur les limites et continuité des fonctions
VI.7
Les séries
Une série consiste à additionner une succession, éventuellement infinie, de nombres ou de fonctions. L'idée peut sembler simple : a0+a1+a2+a3+ ...... mais elle conduit à une question fondamentale : peut-on donner un sens précis à une somme comportant une infinité de termes ?
Les séries peuvent être convergentes, divergentes, alternées. L'idée devient encore plus puissante lorsqu'on additionne non plus des nombres, mais des fonctions : ce sont les séries de fonctions, avec par exemple les séries de Taylor.
En savoir plus sur les séries
VI.8
Les suites
Une suite, c'est une liste de nombres rangés dans l'ordre : un premier, un deuxième, un troisième… Ce qui intéresse le mathématicien, ce n'est pas la liste elle-même, c'est la règle qui fabrique chaque terme à partir de son rang ou de ses prédécesseurs.
En savoir plus sur les suites
VI.9
Les nombres remarquables
Certains nombres reviennent partout sans qu'on les ait invités. On les rencontre en mesurant un cercle, en plaçant de l'argent à la banque, en pliant une feuille, en accordant un piano, en attendant la dernière vignette d'un album. On les identifie et on montre la méthode pour les calculer.
En savoir plus sur les nombres remarquables
VI.10
Les logarithmes
Les logarithmes permettent de retrouver l’exposant d’une puissance. Ainsi,
\[
\log_a(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x,
\]
Le logarithme népérien, noté \(\ln(x)\), est de base \(e\). Les logarithmes transforment les multiplications en additions :
\[
\log(xy)=\log(x)+\log(y).
\]Ils sont utilisés pour résoudre des équations exponentielles et pour représenter des phénomènes couvrant de très grandes échelles, comme le son, les séismes ou certaines croissances.
En savoir plus sur les logarithmes
VI.11
Les fonctions exponentielles
Une fonction exponentielle est une fonction de la forme :
\[
f(x)=a^x,
\]
La fonction \(e^x\) est l’exponentielle la plus utilisée. Ces fonctions modélisent notamment la croissance d’une population, les intérêts composés, la désintégration radioactive et le refroidissement. Le logarithme est leur fonction réciproque.
En savoir plus sur les fonctions exponentielles
VI.12
Les équations différentielles
Ce module comprend six parties interactives, chacune accompagnée d'une animation : une présentation simple des équations différentielles ; la croissance et la décroissance exponentielles, illustrées par des exemples comme les bactéries ou la radioactivité ; un champ de tangentes permettant de visualiser différentes trajectoires ; la méthode du facteur intégrant pour résoudre certaines équations différentielles ; un système masse–ressort–amortisseur montrant les différents types d'oscillations selon l'importance de l'amortissement.
Et enfin une fiche récapitulative regroupant les principales notions et formules.
L'idée essentielle : ces animations montrent comment une équation différentielle permet de décrire l'évolution d'un système au cours du temps, depuis une simple croissance exponentielle jusqu'aux oscillations d'un système mécanique.
En savoir plus sur les équations différentielles
VI.13
Les transformations de fonctions
Une transformation de fonction consiste à partir d'une fonction connue y=f(x) et à la modifier pour obtenir une nouvelle fonction. Certaines transformations changent simplement la position ou la forme de sa courbe. D'autres, plus profondes, transforment une fonction en une autre représentation, comme la transformée de Fourier.
On peut combiner ou composer plusieurs transformations. Certaines transformations peuvent être inversées, ce sont les fonctions réciproques.
Les transformations majeures sont : la transformée de Fourier, la transformée de Laplace et la convolution.
En savoir plus sur les transformations de fonctions
VI.14
La transformée de Fourier
Ce module montre comment la transformée de Fourier permet de décomposer et de reconstruire différents signaux. Cinq types de signaux peuvent être sélectionnés. Ils sont reconstruits progressivement en additionnant leurs différentes fréquences (harmoniques).
On observe également le phénomène de Gibbs : près d'une discontinuité, la reconstruction présente un petit dépassement qui ne disparaît pas complètement même lorsque l'on ajoute davantage d'harmoniques. Une autre animation montre comment retrouver une fréquence cachée dans un signal et met en évidence une propriété importante : plus un signal est concentré dans le temps, plus son spectre de fréquences est étalé, et inversement.
Enfin, la machine à cercles représente les différentes harmoniques par une chaîne de cercles tournants, appelés épicycles. Leur mouvement combiné permet de reconstruire progressivement la forme du signal.
L'idée essentielle : Fourier montre qu'un signal complexe peut être considéré comme la somme de nombreuses oscillations simples.
En savoir plus sur la transformation de Fourier
VI.15
La transformée de Laplace
La transformée de Laplace convertit une fonction du temps f(t) en une fonction d’une variable complexe s :
\(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt\)
Son intérêt principal est de transformer les dérivées en expressions algébriques. Par exemple :
\[
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)
\]Ainsi, une équation différentielle devient une équation algébrique, plus facile à résoudre. On calcule ensuite la transformée inverse pour retrouver \(f(t)\).
Exemple :
\[
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}
\]Elle est très utilisée en automatique, en électronique et pour étudier les systèmes dynamiques.
En savoir plus sur la transformation de Laplace
VI.16
Formes quadratiques : réduction de Gauss
Une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2, par exemple :
\[
q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2.
\]La réduction de Gauss consiste à effectuer des changements de variables, notamment en complétant les carrés, pour supprimer les termes croisés et écrire la forme comme une somme de carrés :
\[
q=\lambda_1u_1^2+\lambda_2u_2^2+\cdots+\lambda_nu_n^2.
\]Cette forme réduite permet notamment de déterminer si \(q\) est positive, négative ou indéfinie.
En savoir plus sur les formes quadratiques avec la réduction de Gauss
VI.17
Le produit de convolution de deux gaussiennes
La convolution consiste à retourner puis faire glisser g, en calculant à chaque position l’aire du produit. Pour deux lois normales, le résultat est une loi 𝒩(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²). On peut le vérifier par simulation Monte-Carlo ou le démontrer avec la transformée de Fourier. À retenir : les variances s’additionnent. Donc σ = √(σ₁²+σ₂²), et la somme de n gaussiennes identiques a pour écart-type σ√n.
En savoir plus sur le produit de convolution
VI.18
Le δ de Dirac comme limite de gaussiennes
Description d'une famille de fonctions g(σ) qui deviennent de plus en plus concentrées autour d’un point a. Aire constante, hauteur croissante : lorsque σ diminue, la courbe devient plus étroite et plus haute, mais son aire totale reste égale à 1. À une échelle fixe, elle ressemble donc progressivement à une pointe. Limite vers le Dirac : le symbole δ, appelé « Dirac en a », représente une masse entièrement concentrée au point a. Ce n’est pas une fonction ordinaire.
Idée principale : plusieurs courbes de formes différentes peuvent produire la même limite de Dirac, à condition que leur masse se concentre correctement. La convergence est alors comprise à travers leur action sur les fonctions tests, et non nécessairement par la valeur de la courbe en chaque point. Le noyau de Dirichlet illustre précisément cette distinction.
En savoir plus sur le δ de Dirac comme limite de gaussiennes
VI.19
Le transport optimal (Monge–Kantorovich)
L’idée essentielle est que le transport optimal décrit comment la matière se déplace, tandis qu’une comparaison ou un mélange classique décrit seulement comment les valeurs changent en chaque point. Par exemple, voici des idées de transport optimal, dont le but est de transformer une répartition de masse en une autre en minimisant le coût des déplacements: Appariement de Monge et algorithme hongrois : dans le cas discret, on cherche à associer chaque point de départ à un point d’arrivée. L’algorithme hongrois trouve l’association dont le coût total est minimal; Compteur de croisements : si deux trajets se croisent, il est souvent possible d’échanger leurs destinations pour raccourcir la distance totale, c’est l’idée exprimée par « l’inégalité du quadrilatère » : un appariement ordonné, sans croisements inutiles, coûte généralement moins cher;
Plan de Kantorovich : Monge impose une destination unique à chaque masse. Kantorovich autorise au contraire à diviser une masse et à l’envoyer vers plusieurs destinations. Le résultat est un tableau indiquant quelle quantité transporter entre chaque paire de points.
En savoir plus sur le transport optimal
VI.20
La cascade de Feigenbaum
Description de la cascade de Feigenbaum, observée lorsqu’un système dynamique simple passe progressivement d’un comportement régulier au chaos. Toile d’araignée et suite xn : la toile d’araignée permet de visualiser les itérations successives. Selon r, la suite converge vers un point fixe, oscille entre plusieurs valeurs ou devient chaotique.
Période et multiplicateur du cycle : un cycle de période p est une suite de p valeurs qui se répète. Son multiplicateur est le produit des dérivées le long du cycle. Si sa valeur absolue est inférieure à 1, le cycle attire les trajectoires ; lorsqu’elle dépasse 1, il devient instable.
Exposant de Lyapunov : il mesure la vitesse à laquelle deux trajectoires initialement très proches s’éloignent. Un exposant positif signale généralement le chaos.
En savoir plus sur la cascade de Feigenbaum
VII
Algèbre linéaire et multilinéaire
L’algèbre linéaire étudie les vecteurs, les matrices, les espaces vectoriels et les transformations linéaires. Elle permet notamment de résoudre des systèmes d’équations et de représenter des transformations géométriques.
L’algèbre multilinéaire généralise ces notions aux fonctions dépendant de plusieurs vecteurs et linéaires par rapport à chacun d’eux. Elle introduit notamment les tenseurs, les déterminants et les formes différentielles, utilisés en géométrie, en physique et en analyse.
VII.1
Le calcul vectoriel
Cette exploration illustre les principales opérations sur les vecteurs. Elle présente la combinaison linéaire \(\lambda u+\mu v\), le déterminant interprété comme une aire orientée et relié au sinus de l’angle, ainsi que le produit scalaire vu comme une projection.
En trois dimensions, le produit vectoriel est visualisé dans une scène orientable, tandis que le produit mixte représente à la fois le volume signé d’un parallélépipède et un déterminant \(3\times3\).
La dernière partie étudie les champs de vecteurs, leur circulation, leur flux et leur rotationnel. Elle vérifie numériquement le théorème de Stokes et met en évidence un cas singulier : un tourbillon dont le rotationnel est nul partout où il est défini, mais dont la circulation autour de l’origine vaut \(2\pi\).
En savoir plus sur le calcul vectoriel
VII.2
Les matrices
La matrice est présentée comme une transformation du plan qui déforme un quadrillage. Son déterminant mesure le facteur d’aire orientée, tandis que son rang indique le nombre de dimensions conservées : dans le cas singulier de rang 1, tout le plan est aplati sur une droite.
Elle met ensuite en évidence la non-commutativité du produit matriciel, puisque \(AB\) diffère généralement de \(BA\), ainsi que les identités :
\[
\det(AB)=\det(A)\det(B), \qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
\]Les vecteurs propres sont repérés comme les directions qui restent inchangées par la transformation, à un facteur d’échelle près. Les valeurs propres sont obtenues par le polynôme caractéristique : leur somme est égale à la trace et leur produit au déterminant. La diagonalisation \(M=PDP^{-1}\) simplifie alors l’étude de la matrice, mais elle échoue notamment pour certaines rotations ou certains cisaillements.
Enfin, la décomposition en valeurs singulières \(M=U\Sigma V^{T}\) reste toujours disponible. Elle décrit la transformation comme une rotation, suivie d’étirements, puis d’une nouvelle rotation, avec \(\sigma_1\sigma_2=|\det M|\).
En savoir plus sur les matrices
VII.3
Les déterminants
Une matrice déforme l'espace — le déterminant dit combien. Deux vecteurs, un parallélogramme, une aire. Ainsi, \(|\det M|>1\) indique une dilatation des aires, \(0<|\det M|<1\) une contraction, et \(\det M=0\) un écrasement sur une dimension inférieure. Le signe précise l’orientation : elle est conservée si le déterminant est positif et inversée s’il est négatif.
En savoir plus sur les déterminants
VII.4
Le calcul tensoriel
Le calcul tensoriel est un langage mathématique qui généralise les vecteurs et les matrices afin de décrire des grandeurs indépendamment du système de coordonnées choisi. Il manipule des tenseurs à l’aide d’opérations comme le produit tensoriel, la contraction et la dérivation covariante.
Il est particulièrement utile pour représenter les déformations, les contraintes, les champs et la courbure. On l’emploie notamment en mécanique des milieux continus, en géométrie différentielle et en relativité générale.
En savoir plus sur le calcul tensoriel
VII.5
Les tenseurs d'ordre trois
On étudie un tenseur d’ordre trois dans un espace à trois dimensions, représenté par un cube de \(3^3=27\) composantes. On peut l’examiner par tranches ou le contracter avec des vecteurs. Lorsqu’il est totalement symétrique, seules dix composantes indépendantes suffisent à le décrire.
Contrairement aux matrices, les tenseurs peuvent ne pas posséder de meilleure approximation d’un rang donné : dans l’exemple présenté, une suite de tenseurs de rang 2 s’approche indéfiniment du tenseur étudié, sans jamais atteindre une approximation optimale. Le théorème d’Eckart–Young, valable pour les matrices, ne se généralise donc pas directement.
Un tenseur d’ordre trois ne peut généralement pas être diagonalisé, car les transformations disponibles ne fournissent pas assez de paramètres pour éliminer ses 27 composantes. Ses vecteurs propres sont définis par l’équation non linéaire
\[
T(\,\cdot\,,x,x)=\lambda x.
\]Ils sont calculés par la méthode de Newton : sept directions propres apparaissent, au lieu de trois pour une matrice. Enfin, l’itération de la puissance produit sur la sphère des bassins d’attraction complexes et entrelacés ; le vecteur propre dominant n’attire ici que \(13{,}5\,\%\) des points de départ.
En savoir plus sur les tenseurs d'ordre trois
VIII
Probabilités et modèles aléatoires
Lois engendrées algorithme en main, champs aléatoires, seuils critiques, et deux exercices bayésiens partis d'une question très concrète.
VIII.1
La théorie des probabilités
La théorie des probabilités est la branche des mathématiques qui étudie les phénomènes aléatoires et mesure la vraisemblance des événements.
Elle s’appuie notamment sur les variables aléatoires, les lois de probabilité, l’espérance et la variance pour modéliser l’incertitude et évaluer les risques.
En savoir plus sur la théorie des probabilités
VIII.2
La loi bêta
La loi bêta est une loi de probabilité continue définie sur l’intervalle [0,1]. Déterminée par deux paramètres de forme, elle peut prendre des profils très variés et sert notamment à modéliser des proportions, des probabilités ou des taux.
Elle est fréquemment utilisée en statistique bayésienne.
En savoir plus sur la loi bêta
VIII.3
Dénombrements: combinaisons et arrangements
Le dénombrement permet de calculer le nombre de façons de choisir ou d’ordonner des éléments. Les combinaisons correspondent aux choix sans tenir compte de l’ordre, tandis que les arrangements prennent en compte l’ordre des éléments sélectionnés.
En savoir plus sur les dénombrements: combinaisons et arrangements
VIII.4
La loi Normale (Gauss)
La loi normale, ou loi de Gauss, est une loi de probabilité continue, symétrique et en forme de cloche. Définie par sa moyenne et son écart-type, elle modélise de nombreux phénomènes naturels et sert de référence dans de nombreuses méthodes statistiques.
En savoir plus sur la loi Normale (Gauss)bêta
VIII.5
Théorème de Moivre–Laplace : le binôme devient une gaussienne
Le théorème de Moivre–Laplace établit que, lorsque le nombre d’essais est suffisamment grand, une loi binomiale peut être approximée par une loi normale.
Il facilite ainsi le calcul des probabilités liées au nombre de succès dans une succession d’épreuves indépendantes.
En savoir plus sur le théorème de Moivre–Laplace
VIII.6
La loi de Poisson
Pour simuler une variable suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\), on multiplie successivement des nombres aléatoires uniformes entre 0 et 1 jusqu’à ce que leur produit devienne inférieur à \(e^{-\lambda}\). Le nombre de tirages nécessaires détermine alors la valeur obtenue. La simulation peut être visualisée étape par étape sur une échelle logarithmique. En répétant l’expérience, l’histogramme des résultats se rapproche progressivement des probabilités théoriques :
\[
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.
\]Le paramètre \(\lambda\), qui représente le nombre moyen d’événements, ainsi que la vitesse de la simulation peuvent être réglés.
En savoir plus sur la loi de Poisson
VIII.7
Loi de Poisson et file d'attente
La loi de Poisson modélise le nombre d’arrivées dans une file d’attente pendant une durée donnée, lorsque celles-ci sont indépendantes et surviennent à un rythme moyen constant. Elle permet d’estimer la congestion et les temps d’attente, et constitue la base de nombreux modèles de files d’attente.
En savoir plus sur la loi de Poisson
VIII.8
Loi Gamma
La loi Gamma est une loi de probabilité continue définie pour les valeurs positives. Elle sert notamment à modéliser le temps d’attente avant la survenue de plusieurs événements indépendants se produisant à un rythme constant. Sa forme dépend de deux paramètres : la forme et l’échelle, ou le taux.
En savoir plus sur la loi Gamma
VIII.9
La loi de Student
La loi de Student est une loi de probabilité continue, symétrique et proche de la loi normale, mais dotée de queues plus épaisses. Elle est utilisée pour estimer ou tester une moyenne lorsque la variance de la population est inconnue, notamment avec de petits échantillons.
Sa forme dépend du nombre de degrés de liberté.
En savoir plus sur la loi de Student
VIII.10
Théorème de Bayes
Le théorème de Bayes permet de réviser la probabilité d’une hypothèse à partir d’une nouvelle observation.
Il combine la probabilité initiale de l’hypothèse avec la vraisemblance des données afin d’obtenir une probabilité actualisée, dite probabilité a posteriori.
En savoir plus sur le théorème de Bayes
VIII.11
Fusionner deux avis selon la confiance accordée à chacun
On part d’une probabilité initiale concernant une hypothèse. Deux avis apportent ensuite de nouvelles informations, mais leur fiabilité n’est pas identique.
Chaque avis est donc pondéré selon la confiance accordée à son émetteur, puis intégré pour réviser la probabilité initiale.
L’estimation finale reflète ainsi à la fois le contenu des deux avis et leur niveau de crédibilité.
En savoir plus sur la fusion de deux avis
VIII.12
Décider avec des probabilités imprécises
Que faire quand on ne connaît pas exactement les probabilités — seulement une fourchette, ou un ensemble de valeurs plausibles ?
Cette page construit, planche après planche, une théorie de la décision qui n'exige plus une probabilité unique.
En savoir plus la décision avec des probabilités imprécises
VIII.13
La géométrie aléatoire
La géométrie aléatoire étudie des objets et des configurations géométriques produits par le hasard, comme des points, des lignes ou des formes répartis aléatoirement.
Elle permet notamment d’analyser les distances, les intersections et les structures spatiales dans de nombreux domaines scientifiques.
En savoir plus sur la géométrie aléatoire
VIII.14
Le modèle d'Ising
Le modèle d’Ising est un modèle mathématique décrivant un ensemble de spins pouvant prendre deux états et interagir avec leurs voisins.
Initialement conçu pour étudier le magnétisme, il permet d’analyser les transitions de phase et les comportements collectifs en physique statistique.
En savoir plus sur le modèle d'Ising
IX
Statistique
Quatre tests bâtis sur le même patron — hypothèses, données, calcul ligne à ligne, décision avec tampon — et une régression menée à la main.
IX.1
Théorie et méthodes de la statistique
La statistique regroupe les théories et les méthodes permettant de recueillir, résumer, analyser et interpréter des données.
Elle comprend la statistique descriptive, qui présente les observations, et la statistique inférentielle, qui permet d’estimer des paramètres, de tester des hypothèses et de faire des prévisions à partir d’un échantillon.
En savoir plus sur la théorie et les méthodes de la statistique
IX.2
Les tests d'hypothèses
Un test d’hypothèse sert à décider, à partir d’un échantillon, si une affirmation sur une population paraît crédible.
On formule : - \(H_0\) : hypothèse nulle, supposée vraie au départ ; - \(H_1\) : hypothèse alternative.
On calcule ensuite une p-valeur : la probabilité d’observer un résultat au moins aussi extrême que celui obtenu, en supposant \(H_0\) vraie.
- Si \(p < \alpha\) (souvent \(5\%\)), on rejette \(H_0\).
- Sinon, on ne rejette pas \(H_0\) — sans pour autant prouver qu’elle est vraie.
Deux erreurs sont possibles : rejeter \(H_0\) alors qu’elle est vraie (type I), ou ne pas la rejeter alors qu’elle est fausse (type II).
Les principaux tests d’hypothèses sont :
- Test t de Student : compare une moyenne à une valeur, ou les moyennes de deux groupes.
- Test z : teste une moyenne ou une proportion avec un grand échantillon ou une variance connue.
- ANOVA : compare les moyennes de trois groupes ou plus.
- Test du khi-deux (\(\chi^2\)) : étudie l’indépendance entre variables catégorielles ou l’adéquation à une distribution.
- Test exact de Fisher : teste l’association entre deux variables catégorielles sur de petits échantillons.
- Test de corrélation de Pearson : recherche une relation linéaire entre deux variables quantitatives.
- Tests non paramétriques : Mann–Whitney, Wilcoxon et Kruskal–Wallis, utiles lorsque les hypothèses de normalité ne sont pas satisfaites.
- Tests de normalité : Shapiro–Wilk ou Kolmogorov–Smirnov.
Le choix dépend surtout du type de variables, du nombre de groupes, de leur indépendance et de la distribution des données.
En savoir plus sur les tests d'hypothèses
IX.3
Le test du χ²
Le test du **χ² (khi-deux)** sert principalement à vérifier s’il existe une association entre deux variables qualitatives, par exemple le sexe et la préférence pour un produit.
Il compare les effectifs observés aux effectifs attendus si les variables étaient indépendantes. Une **p-valeur inférieure au seuil choisi** (souvent 5 %) conduit à rejeter l’hypothèse d’indépendance.
Ce test nécessite des observations indépendantes et des effectifs attendus suffisamment grands.
En savoir plus sur le test du χ²
IX.4
Le test t de Student–Fisher
Le test t de Student–Fisher sert à déterminer si une différence entre moyennes est statistiquement significative. Il peut comparer la moyenne d’un échantillon à une valeur de référence, deux groupes indépendants ou deux mesures appariées.
Il suppose généralement des données quantitatives approximativement normales. Une p-valeur inférieure au seuil choisi, souvent 5 %, conduit à rejeter l’hypothèse d’égalité des moyennes.
En savoir plus sur le test t de Student–Fisher
IX.5
Le test de Kolmogorov–Smirnov
Le test de Kolmogorov–Smirnov compare la distribution observée d’un échantillon à une distribution théorique, ou les distributions de deux échantillons. Il mesure leur écart maximal.
Une p-valeur faible, généralement inférieure à 5 %, conduit à rejeter l’hypothèse selon laquelle les données suivent la même distribution.
En savoir plus sur le test de Kolmogorov–Smirnov
IX.6
Le test de normalité de Shapiro–Wilk
Le test de Shapiro–Wilk vérifie si un échantillon peut être considéré comme issu d’une distribution normale. Son hypothèse nulle est la normalité des données. Si la p-valeur est inférieure au seuil choisi, généralement 5 %, on rejette cette hypothèse.
Il est conseillé de compléter ce test par un graphique, comme un histogramme ou un diagramme quantile-quantile (Q-Q plot).
En savoir plus sur le test de normalité de Shapiro–Wilk
X
Analyse de données multivariées
L’analyse de données multivariées regroupe les méthodes statistiques qui étudient simultanément plusieurs variables observées sur les mêmes individus. Elle permet de révéler des relations difficiles à voir séparément, de résumer l’information et de repérer des groupes ou des profils.
Parmi les principales méthodes :
- l’analyse en composantes principales (ACP) réduit le nombre de variables quantitatives ;
- l’analyse factorielle des correspondances (AFC) étudie les liens entre variables qualitatives ;
- la classification regroupe les individus similaires ;
- la régression multiple explique ou prédit une variable à partir de plusieurs facteurs ;
- l’analyse discriminante distingue des groupes connus.
Ces méthodes sont utilisées notamment en économie, biologie, marketing et sciences sociales.
Dans les pages web qui suivent vous pouvez importer vos propres données et donc faire des analyses spécifiques.
X.1
Comprendre une Analyse en composantes principales (ACP)
L’analyse en composantes principales (ACP) est une méthode statistique qui résume un ensemble de variables quantitatives corrélées en quelques nouvelles variables appelées composantes principales.
Ces composantes sont des combinaisons linéaires des variables initiales :
- la première conserve la plus grande part possible de la variabilité des données ;
- la deuxième explique la plus grande part restante, tout en étant indépendante de la première ;
- les suivantes suivent le même principe.
L’ACP permet ainsi de réduire le nombre de dimensions, de visualiser les individus et les variables, de repérer des groupes, des tendances ou des valeurs atypiques. Comme les variables ayant de grandes unités peuvent dominer l’analyse, les données sont souvent centrées et réduites avant le calcul.
Comprendre l'analyse en composantes principales (ACP)
X.2
Exemples d'Analyses en composantes principales (ACP)
Cette page présente plusieurs jeux d'essais sur lesquels sont réalisés des analyses en composantes principales (ACP). Vous pouvez aussi collez vos propres données ou importez un fichier CSV et donc produire une ACP à partir de vos données.
Exemples d'analyses en composantes principales (ACP)
X.3
Analyse factorielle des correspondances
L’analyse factorielle des correspondances (AFC) est une méthode statistique qui étudie les relations entre deux variables qualitatives à partir d’un tableau de contingence.
Elle représente les catégories des deux variables sur un graphique de faible dimension. Des catégories proches ont généralement des profils similaires, tandis que celles qui sont éloignées diffèrent davantage. Les axes sont construits pour résumer au mieux les écarts à l’indépendance, mesurés à l’aide de la distance du khi-deux.
L’AFC permet ainsi de visualiser les associations entre catégories, d’identifier des oppositions et de révéler les principales structures du tableau. L’interprétation doit toutefois s’appuyer sur les contributions aux axes : une proximité visuelle seule ne suffit pas toujours à établir une relation.
En savoir plus sur l'analyse factorielle des correspondances (AFC)
X.4
Analyse canonique
L’analyse canonique des corrélations étudie les relations entre deux ensembles de variables quantitatives observées sur les mêmes individus. Par exemple, elle peut relier des habitudes de vie à plusieurs indicateurs de santé.
Elle construit, dans chaque ensemble, une combinaison linéaire des variables afin que les deux combinaisons obtenues soient aussi corrélées que possible. Les couples suivants expliquent progressivement les relations restantes, tout en étant indépendants des précédents.
Cette méthode permet de résumer les liens entre deux groupes de variables, mais son interprétation doit tenir compte de la taille de l’échantillon, des valeurs atypiques et des corrélations excessives entre variables.
En savoir plus sur l'analyse canonique
X.5
Analyse des correspondances multiples (ACM)
Variables qualitatives en trois états, découpage en classes des colonnes numériques, tableau disjonctif complet, alerte sur les modalités rares, corrections de Benzécri et Greenacre, carré des liaisons η² et valeurs-tests. Signature : l'aller-retour barycentrique entre individus et modalités.
L’analyse des correspondances multiples (ACM) est une méthode statistique qui étudie simultanément plusieurs variables qualitatives observées sur les mêmes individus. Elle constitue une extension de l’analyse factorielle des correspondances.
L’ACM projette les individus et les catégories sur quelques axes afin de résumer les principales associations. Des individus proches présentent généralement des réponses similaires ; des catégories proches sont souvent choisies par les mêmes profils.
Elle sert notamment à repérer des groupes, des oppositions et des comportements types dans les enquêtes. L’interprétation repose surtout sur la contribution des catégories aux axes, car leur simple proximité graphique peut parfois être trompeuse.
En savoir plus sur l'analyse des correspondances multiples (ACM)
X.6
Analyse Factorielle multiple
L’analyse factorielle multiple (AFM) est une méthode statistique qui analyse simultanément plusieurs groupes de variables décrivant les mêmes individus.
Elle équilibre l’influence de chaque groupe, résume les données en quelques axes et permet de comparer les relations entre individus, variables et groupes de variables.
En savoir plus sur l'analyse canonique
X.7
Analyses inter-classes et intra-classes
L’analyse inter-classes étudie les différences entre des groupes connus. Elle recherche les variables et les axes qui séparent le mieux leurs centres moyens, par exemple plusieurs espèces, régions ou catégories sociales.
L’analyse intra-classes examine au contraire les variations entre les individus d’un même groupe, après avoir retiré l’effet des différences entre groupes. Elle met ainsi en évidence des structures communes ou des sous-groupes internes.
La variabilité totale se décompose donc en deux parties :
\[
\text{variabilité totale}
=
\text{variabilité inter-classes}
+
\text{variabilité intra-classes}.
\]Ces deux analyses sont complémentaires : l’une décrit la séparation des groupes, l’autre leur diversité interne.
En savoir plus sur l'Analyse inter-classes et intra-classes
X.8
Régression linéaire multiple
La régression linéaire multiple étudie la relation entre une variable quantitative à expliquer et plusieurs variables explicatives.
Elle permet d’estimer l’effet propre de chaque facteur sur la variable étudiée, tout en tenant compte des autres. La qualité du modèle est souvent évaluée par le coefficient \(R^2\) et par des tests de significativité.
Exemple: estimation du prix d'un appartement à partir de la surface, du nombre de chambres et de la distance au métro sur quatre ventes : résolution matricielle pas à pas, puis calculateur interactif.
En savoir plus sur la régression linéaire multiple
X.9
La matrice ordonnable de Bertin
Codage en niveaux de gris paramétrable avec trois modes de découpage, permutation des lignes et des colonnes au glisser-déposer, rangement par moyennes réciproques déroulé jusqu'à stabilité, énergie de liaison de McCormick, et la courbe d'information conservée selon le nombre de niveaux — la méthode manuelle d'autrefois retrouvant le premier axe d'une AFC.
En savoir plus sur la matrice ordonnable de Bertin
X.10
Le cube ordonnable de Bertin
La matrice ordonnable de Bertin généralisée à un cube de données à trois entrées : affichage d'une tranche unique avec permutation des étiquettes au clic ; cube complet ordonné selon ses trois modes simultanément ; énergie de McCormick étendue à la dimension trois et optimisée par échanges gloutons ; moindres carrés alternés relus comme l'itération de la puissance tensorielle — c'est-à-dire la version à trois modes des moyennes réciproques dont Bertin usait à la main. Signature : quand le cube l'emporte — une épreuve Monte-Carlo montrant que l'ordre calculé sur le cube ne bat celui des tranches moyennées que dans un cas précis : lorsque le troisième mode renverse l'effet au lieu de simplement l'amplifier.
En savoir plus sur le cube ordonnable de Bertin
X.11
Analyse discriminante : exemple des Cathédrales Gothiques
L’analyse discriminante est une méthode statistique qui permet de distinguer des groupes connus à partir de plusieurs variables quantitatives. Elle construit des combinaisons de variables qui maximisent les différences entre les groupes tout en réduisant les variations à l’intérieur de chacun.
Elle sert à identifier les variables les plus discriminantes, à visualiser la séparation des groupes et à classer de nouveaux individus. Sa performance doit être évaluée sur des données non utilisées pour construire le modèle, par exemple au moyen d’une validation croisée.
Les cathédrales sont décrites partie par partie : les notions utilisées appartiennent à la méthode STATIS, utilisée pour comparer plusieurs tableaux de données \(W_k\), par exemple les mêmes variables observées à différentes dates.
- Interstructure par la matrice des RV : les coefficients RV mesurent la ressemblance globale entre chaque paire de tableaux. Leur matrice révèle quels tableaux sont proches ou différents.
- Poids \(\alpha_k\) : le premier vecteur propre de cette matrice fournit un poids à chaque tableau. Les tableaux les plus représentatifs de la structure commune reçoivent généralement les poids les plus élevés.
- Compromis : le tableau moyen pondéré \[
W=\sum_k \alpha_k W_k
\]résume la structure commune à l’ensemble des tableaux.
- Intrastructure : elle montre comment chaque individu ou variable s’écarte du compromis. Une représentation en étoiles relie ses positions dans les différents tableaux à sa position moyenne ; une représentation en trajectoires visualise son évolution ordonnée, notamment au fil du temps.
Le compromis se négocie — curseurs sur les poids, le critère Σ cos²(W,W_k) atteignant son maximum exactement aux poids STATIS.
En savoir plus sur l'analyse discriminante : exemple des Cathédrales Gothiques
X.12
Classer les cathédrales gothiques françaises
Cette étude applique la classification automatique à vingt-cinq cathédrales décrites par douze caractéristiques : cinq numériques et sept qualitatives, que l’utilisateur peut sélectionner ou retirer.
La ressemblance entre les édifices est mesurée par la distance de Gower, adaptée aux données mixtes. Sa racine carrée fournit ici une représentation euclidienne sans valeurs propres négatives. Les cathédrales sont ensuite regroupées par la méthode de Ward, qui minimise la dispersion interne des classes. Le dendrogramme peut être coupé au niveau souhaité : avec cinq groupes, la classification explique \(51{,}06\,\%\) de l’inertie totale. Toulouse et Albi se distinguent rapidement, puis apparaît notamment le groupe Noyon–Laon–Paris–Bourges, caractérisé par les voûtes sexpartites.
Plusieurs méthodes d’agrégation sont comparées grâce à la corrélation cophénétique et à l’indice de Rand ajusté. Une consolidation par \(k\)-means confirme parfaitement la solution obtenue. Enfin, 300 permutations aléatoires montrent que les classes observées sont peu compatibles avec le hasard : celui-ci n’explique qu’environ \(38\,\%\) de l’inertie, contre \(51\,\%\) pour les données réelles, avec \(p\leq0{,}003\).
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X.13
X.14
XI
Théorie des jeux
Trois jeux d'école, deux jeux réels — les échecs pour l'information parfaite, le bridge pour l'information cachée — et un jeu à somme nulle sans équilibre pur, où seule la stratégie mixte tient.
XI.1
Le dilemme du prisonnier
En théorie des jeux, le dilemme du prisonnier décrit une situation où deux joueurs choisissent séparément de coopérer ou de trahir.
La trahison est individuellement avantageuse, quel que soit le choix de l’autre : elle constitue donc la stratégie dominante. Les deux joueurs finissent rationnellement par se trahir, ce qui correspond à un équilibre de Nash. Pourtant, ils auraient tous deux obtenu un meilleur résultat en coopérant.
Ce dilemme montre ainsi que la recherche de l’intérêt individuel peut conduire à une situation moins favorable pour tous. Dans un jeu répété, la coopération peut néanmoins apparaître grâce à la réciprocité, à la confiance ou à la crainte de représailles futures.
Matrice des gains manipulable, équilibre de Nash contre optimum de Pareto, et le passage au jeu répété.
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XI.2
La bataille des couples
La bataille des couples est un jeu de coordination dans lequel les deux joueurs souhaitent avant tout rester ensemble, mais préfèrent des activités différentes. Par exemple, l’un préfère le théâtre et l’autre un match.
Le jeu possède deux équilibres de Nash : les deux choisissent le théâtre ou les deux choisissent le match. Dans chaque cas, ils se coordonnent, mais l’un obtient un résultat plus favorable que l’autre. Si chacun suit uniquement sa préférence, ils risquent de choisir des activités différentes, ce qui est moins avantageux pour tous les deux.
Ce jeu illustre donc une situation où les joueurs ont intérêt à coopérer, mais doivent négocier pour déterminer sur quelle solution se coordonner.
Deux équilibres purs, l'équilibre mixte et le problème de coordination qu'il laisse entier.
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XI.3
Le jeu de l'ultimatum
Le jeu de l’ultimatum oppose deux joueurs qui doivent partager une somme. Le premier propose une répartition ; le second peut l’accepter ou la refuser. S’il accepte, la somme est partagée selon la proposition. S’il refuse, personne ne reçoit rien.
Selon la rationalité économique classique, le premier devrait proposer la plus petite somme possible et le second l’accepter, puisqu’elle vaut mieux que zéro. Pourtant, les expériences montrent que les offres jugées trop injustes sont souvent refusées.
Ce jeu met ainsi en évidence l’importance de l’équité, des émotions et des normes sociales dans les décisions économiques.
La prédiction de la théorie contre ce que font réellement les joueurs : le partage rationnel et le partage accepté.
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XI.4
Le jeu des trois entreprises
En théorie des jeux, le jeu de trois entreprises décrit généralement trois firmes concurrentes qui choisissent simultanément leur quantité de production ou leur prix.
Dans le modèle de Cournot, chaque entreprise fixe sa production en anticipant celle des deux autres. Une production totale élevée fait baisser le prix du marché. Chaque firme cherche donc la quantité qui maximise son bénéfice en fonction des choix de ses concurrentes.
L’équilibre de Nash est atteint lorsqu’aucune entreprise ne peut augmenter seule son profit en modifiant sa production. La concurrence entre trois firmes conduit généralement à des prix plus faibles et à une production plus élevée qu’un monopole, mais sans atteindre nécessairement le niveau de concurrence parfaite.
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XII
Mathématiques de la physique
Les mathématiques sont le langage de la physique. Elles permettent de : formuler les lois naturelles sous forme d’équations ; calculer et prévoir le mouvement ou l’évolution d’un système ; analyser les mesures expérimentales et leurs incertitudes ; construire des modèles simplifiés de phénomènes complexes ; vérifier quantitativement les théories par l’expérience.
Par exemple, la géométrie décrit les trajectoires, le calcul différentiel étudie les variations, les probabilités interviennent en physique quantique et les équations différentielles modélisent les ondes, les forces ou la chaleur. Les mathématiques transforment ainsi les observations physiques en lois précises et prédictives.
XII.1
Mécanique quantique
La mécanique quantique décrit le comportement de la matière et de la lumière à l’échelle microscopique. Un système y est représenté par un état quantique qui permet de calculer les probabilités des résultats d’une mesure.
Elle introduit notamment la superposition des états, la quantification de certaines grandeurs, le principe d’incertitude et l’intrication entre particules.
En savoir plus sur la mécanique quantique
XII.2
Géométrie et prédiction du mouvement : du solide au tube d’univers :
En ajoutant le temps aux trois dimensions de l’espace, le solide devient un « tube d’univers ». L’étude de ses variations temporelles révèle la géométrie de son mouvement et permet d’en examiner la prévisibilité.
En savoir plus sur la mécanique du solide 4D
XII.3
Géométrie du mouvement : du cube au tube d’univers
Un cube est simultanément déplacé, tourné et déformé au cours du temps. L’étude de ses dérivées successives décrit, en chaque point, sa vitesse, son accélération et son jerk. L’ensemble de ses positions dans le temps forme alors un « tube d’univers », dont le présent constitue une simple coupe.
En savoir plus sur la géométrie du mouvement : du cube au tube d’univers
XII.4
Mécanique des fluides
La mécanique des fluides étudie le comportement des liquides et des gaz, au repos ou en mouvement. Elle analyse notamment la pression, la vitesse, le débit, la viscosité et les forces exercées sur les objets. Elle s’applique à l’aérodynamique, à l’hydraulique, à la météorologie et à la circulation sanguine.
En savoir plus sur la mécanique des fluides
XII.5
Thermodynamique
La thermodynamique étudie les échanges d’énergie entre les systèmes, notamment sous forme de chaleur et de travail. Elle décrit l’évolution de grandeurs comme la température, la pression, le volume et l’entropie, à l’aide de principes fondamentaux de conservation et d’irréversibilité. Elle s’applique notamment aux moteurs, aux réfrigérateurs et aux changements d’état de la matière.
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XII.6
L'équation de Poisson en électrostatique
En électrostatique, l’équation de Poisson relie le potentiel électrique \(V\) à la densité de charge \(\rho\) :
\[
\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\varepsilon},
\]où \(\varepsilon\) est la permittivité du milieu. Elle permet de déterminer le potentiel créé par une distribution de charges, puis le champ électrique grâce à \(\mathbf{E}=-\nabla V\). Dans une région sans charge, elle devient l’équation de Laplace : \(\nabla^2V=0\).
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XII.7
Minkowski : l'espace-temps
L’espace-temps de Minkowski est le cadre géométrique de la relativité restreinte. Il réunit les trois dimensions de l’espace et le temps en un même ensemble à quatre dimensions.
Un événement y est décrit par \((ct,x,y,z)\). Contrairement à la distance euclidienne, l’intervalle
\[
\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2
\]reste identique pour tous les observateurs en mouvement uniforme. Cette géométrie explique notamment la dilatation du temps, la contraction des longueurs et l’existence du cône de lumière, qui délimite les événements pouvant être reliés causalement.
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XII.8
La cycloïde, la tautochrone et l'horloge de Huygens
Plusieurs propriétés remarquables de la cycloïde, la courbe tracée par un point fixé sur une roue roulant sans glisser. La roue qui engendre l’arche : pour une roue de rayon \(R\), un point placé sur sa circonférence décrit une cycloïde, une arche complète correspond à un tour de roue.
La propriété tautochrone : une cycloïde renversée peut servir de piste. Si plusieurs billes sont lâchées sans vitesse initiale depuis des hauteurs différentes, elles atteignent toutes le point le plus bas au même instant.
La propriété brachistochrone : La cycloïde est également brachistochrone : entre deux points convenablement placés dans un champ de pesanteur uniforme, c’est la piste sur laquelle une bille arrive le plus vite.
La développée d’une cycloïde : la développée d’une courbe est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi l’imaginer comme la courbe formée par l’intersection de normales infiniment proches.
Un pendule circulaire ordinaire n’est pas parfaitement isochrone. Pour de petites oscillations, sa période est approximativement :
\[
T_0=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.
\]Mais lorsque l’amplitude augmente, sa période s’allonge. La formule exacte fait intervenir une intégrale elliptique :
\[
T=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,
K\!\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right).
\]
La cycloïde possède des mesures exactes remarquables, synchronise les chutes, minimise leur durée et fournit le principe théorique d’un pendule parfaitement isochrone.
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XII.9
Optique et Mathématiques
Les mathématiques sont essentielles en optique : elles servent à modéliser la lumière, calculer sa trajectoire et prévoir son interaction avec la matière.
Les mathématiques permettent aussi bien de concevoir des lunettes, microscopes et télescopes que de développer les lasers, les fibres optiques, les caméras et les systèmes modernes de télécommunication.
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XII.10
Le Mètre : mesure du méridien
Le mètre a d’abord été défini, à la fin du XVIIIᵉ siècle, comme la dix-millionième partie de la distance entre l’équateur et le pôle Nord, mesurée le long d’un méridien terrestre. Pour établir cette unité, des savants ont mesuré par triangulation une portion du méridien passant par Paris, entre Dunkerque et Barcelone.
Cette définition visait à créer une unité universelle fondée sur les dimensions de la Terre.
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XII.11
La balistique
La balistique est la science qui étudie le mouvement des projectiles, comme les balles, obus ou fusées, ainsi que les forces qui agissent sur eux avant, pendant et après leur lancement.
En savoir plus sur la balistique
XII.12
La théorie de la relativité
La théorie de la relativité d’Einstein décrit l’espace, le temps et la gravitation. La relativité restreinte établit que la vitesse de la lumière est constante et que le temps et les distances dépendent du mouvement de l’observateur. La relativité générale explique la gravitation comme une déformation de l’espace-temps causée par la matière et l’énergie.
En savoir plus sur la théorie de la relativité
XII.13
XII.14
XIII
Finance quantitative et décision
Les mathématiques appliquées au sens strict : estimer, arbitrer, décider quand les probabilités elles-mêmes sont incertaines — et, en dernier volet, la concurrence entre quelques entreprises traitée comme un jeu.
XIII.1
Simulation d'un achat immobilier
Une simulation mathématique consiste à utiliser des équations et des calculs informatiques pour reproduire le comportement d’un système réel ou théorique, afin de l’étudier, de prévoir son évolution ou de tester différents scénarios.
On l'applique ici au cas d'un achat immobilier.
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XIII.2
Les intérêts composés
On verse chaque mois une somme V sur un compte rémunéré au taux annuel t, pendant n mois. Quel capital a-t-on accumulé à la fin ?
Capital, taux et durée en curseurs, avec la courbe qui montre où l'exponentielle prend le dessus sur le versement régulier.
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XIII.3
Fonds euros ou unités de compte ?
Dans une assurance-vie : Fonds en euros : capital généralement garanti par l’assureur, rendement plus modéré et intérêts acquis Unités de compte (UC) : placements en actions, obligations, immobilier, etc. Potentiel de rendement supérieur, mais capital non garanti et risque de perte.
Le choix dépend donc de l’horizon de placement et du niveau de risque accepté.
Fonds euros ou unités de compte ?
XIII.4
Arbitrage d'Assurance-Vie
Un arbitrage d’assurance-vie consiste à transférer tout ou partie de l’épargne entre les supports du contrat, par exemple des unités de compte vers le fonds en euros, afin d’adapter le risque et de sécuriser progressivement les gains.
L’arbitrage n’est généralement pas imposé tant qu’aucun retrait n’est effectué, mais il peut entraîner des frais selon le contrat.
Arbitrage d'Assurance-Vie
XIII.5
Prévision boursière 1 (loi Bêta)
Une prévision boursière avec la loi bêta consiste à modéliser une variable comprise entre 0 et 1 — par exemple la probabilité qu’une action monte — à partir d’observations passées.
Les paramètres de la loi bêta sont actualisés avec les nouvelles données, ce qui permet d’estimer cette probabilité et son incertitude. Cette méthode ne prévoit pas avec certitude le cours futur.
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XIII.6
XIV
Géodésie et cartographie
Mesurer la Terre, puis la mettre à plat : deux opérations qui se paient, l'une en incertitude, l'autre en distorsion — et le tracé de l'ombre portée, qui relève des mêmes projections.
XIV.1
Les projections cartographiques
Les projections cartographiques sont des procédés géométriques qui représentent la surface courbe de la Terre sur un plan. Elles provoquent inévitablement des déformations de distances, de surfaces, d’angles ou de formes, privilégiées différemment selon l’usage de la carte.
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XIV.2
La mesure du méridien et la naissance du mètre
À la fin du XVIIIᵉ siècle, des savants mesurèrent un arc du méridien terrestre entre Dunkerque et Barcelone. Le mètre fut alors défini comme le dix-millionième de la distance entre l’équateur et le pôle Nord, établissant une unité universelle fondée sur les dimensions de la Terre.
En savoir plus sur la mesure du méridien et la naissance du mètre
XIV.3
Le tracé des cadrans solaires
Le tracé d’un cadran solaire consiste à déterminer géométriquement les lignes horaires selon la latitude, l’orientation du support et la position du Soleil. L’ombre d’un style, généralement parallèle à l’axe terrestre, indique alors l’heure solaire.
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XIV.4
La projection Equal Earth
La projection Equal Earth est une projection cartographique équivalente : elle conserve les proportions des surfaces des continents et des pays. Créée en 2018, elle offre une représentation du monde visuellement équilibrée, avec des formes moins déformées que dans de nombreuses autres projections.
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XV
Géométrie du bâti
La géométrie telle que la pratiquent ceux qui construisent, taillent et relèvent — statique des voûtes, taille de la pierre, relevé photographique, anamorphose et proportions.
XV.1
La chaînette et la ligne de poussée des voûtes
La chaînette est la courbe prise par une chaîne suspendue sous son propre poids. Renversée, elle donne une forme idéale d’arc travaillant en compression.
La ligne de poussée représente le trajet des forces dans une voûte : elle doit rester à l’intérieur de son épaisseur pour assurer sa stabilité.
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XV.2
La stéréotomie et le trait
La stéréotomie est l’art de concevoir, tracer et tailler les matériaux de construction, surtout la pierre, afin d’assembler précisément des éléments complexes comme les voûtes, arcs, escaliers et coupoles.
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XV.3
Homographie et restitution de façade
L’homographie est une transformation géométrique reliant deux représentations planes d’une même façade. Elle permet de corriger la déformation perspective d’une photographie afin d’obtenir une vue frontale à l’échelle : c’est la restitution de façade, utilisée pour mesurer, analyser ou documenter l’édifice.
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XV.4
Les anamorphoses de Niceron
Les anamorphoses de Niceron sont des images volontairement déformées qui retrouvent leur apparence correcte lorsqu’on les observe sous un angle précis ou dans un miroir cylindrique ou conique.
Au XVIIᵉ siècle, Niceron en systématise la construction géométrique dans La Perspective curieuse, associant science de la perspective et illusion visuelle.
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XV.5
Les tracés régulateurs des façades
Les tracés régulateurs des façades sont des constructions géométriques invisibles — axes, diagonales, carrés, triangles ou rapports proportionnels — qui organisent la disposition et les dimensions des ouvertures, étages et ornements. Ils assurent l’unité, l’équilibre et l’harmonie de la composition architecturale.
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