Géométrie analytique dans l'espace · tétraèdre quelconque
La droite d'Euler du tétraèdre
Un tétraèdre n'a pas d'orthocentre : les quatre hauteurs ne se coupent qu'exceptionnellement. Ce qui subsiste toujours, c'est le point de Monge M, intersection des six plans menés par le milieu d'une arête perpendiculairement à l'arête opposée. Et là, la magie de la dimension 3 : O, G et M sont alignés, avec G exactement au milieu de [OM]. Tout est établi ici par le calcul en coordonnées.
x
y
z
médianes → G sphère circonscrite → O plans de Monge → M droite d'EulerFaites glisser la figure pour tourner · molette pour zoomer
La démonstration en quelques lignes. Plaçons l'origine en O. Pour l'arête [AB], le plan de Monge est l'ensemble des X tels que (X − (A+B)/2)·(D−C) = 0.
Testons le point P = (A+B+C+D)/2 : il vient P − (A+B)/2 = (C+D)/2, et (C+D)·(D−C) = |D|² − |C|² = R² − R² = 0. Le point P appartient donc à ce plan — et, l'expression étant symétrique, aux six. C'est le point de Monge : M = ½(A+B+C+D) − O, soit OM = 2·OG puisque G = ¼(A+B+C+D).
Dans le triangle, le même argument donnait H = A+B+C − 2O et OH = 3·OG : le coefficient passe de 3 à 2 en changeant de dimension.