Le test de Student–Fisher — Cahier de statistique

Étape 1

Les hypothèses et l’expérience

On sème la variété A sur n parcelles et la variété B sur n autres, puis on mesure le rendement (quintaux/hectare) de chacune.

H₀ (hypothèse nulle)
μ_A = μ_B : les deux variétés ont le même rendement moyen.

H₁ (hypothèse alternative)
μ_A ≠ μ_B : les rendements moyens diffèrent (test bilatéral).

Réalité simulée :

Parcelles par variété : 8

Seuil α :

Étape 2

Les deux échantillons

Chaque point est une parcelle. Le trait rouge marque la moyenne x̄ de chaque variété, l’accolade son écart-type corrigé s. Même quand H₀ est vraie, les deux moyennes ne coïncident jamais exactement !

Variété A Variété B Moyenne x̄ ± s

Étape 3

La statistique de test

On rapporte l’écart des moyennes à ce que le hasard seul produirait :

t = x̄_A − x̄_B s_p √(1/n_A + 1/n_B) avec s_p² = (n_A−1)s_A² + (n_B−1)s_B² n_A + n_B − 2

Le numérateur mesure l’écart observé ; le dénominateur, l’écart typique que produiraient de pures fluctuations. Un |t| grand signifie donc un écart anormalement grand.

t_obs = —

Étape 4

La loi de Student et la décision

Si H₀ est vraie, t suit une loi de Student à ν = n_A + n_B − 2 degrés de liberté. Plus évasée que la loi normale quand n est petit, elle s’en rapproche quand n grandit — c’est toute la découverte de Gosset. Le test étant bilatéral, la région de rejet se partage entre les deux queues (α/2 de chaque côté).

t observé

—

t critique (±)

—

degrés de liberté

—

p‑valeur

—

Dans la marge : essayez « B rapporte +3 q/ha » avec 4 parcelles, puis avec 40. Le même écart réel, invisible sur un petit échantillon, devient flagrant sur un grand : c’est la puissance du test qui augmente avec n. Et avec des variétés identiques, le test rejette H₀ à tort environ α fois sur 100 — le risque de première espèce, incompressible.