Cinq regards sur une même question : que devient la courbe d’intersection quand un cône de révolution rencontre un autre solide ? Une sphère, un tétraèdre, un cylindre incliné — et, en ouverture et en clôture, les deux cas les plus simples : deux cercles dans le plan, puis un plan qui tranche le cône lui-même. Chaque courbe est calculée génératrice par génératrice, sans formule toute faite.
Avant l’espace, le plan. La distance d entre deux centres, confrontée à R₁+R₂ et |R₁−R₂|, décide de tout : c’est le même raisonnement par discriminant qui reviendra, planche après planche, pour le cône.
Cercle C₁ (encre) fixe à l’origine, cercle C₂ (rouge) à distance d.
Tant que le centre C reste sur l’axe, la symétrie de révolution subsiste : l’intersection avec la surface latérale est faite de cercles — deux, un seul (tangence) ou aucun. Dès que C s’écarte de l’axe (curseur d), la symétrie se brise et la courbe devient gauche.
Glisser sur la figure pour orbiter la vue.
Chaque face du tétraèdre est un plan : elle recoupe la surface latérale le long d’un arc de conique, dont la nature dépend de l’inclinaison de la face par rapport à l’axe. Cliquez une face dans la légende pour la mettre en évidence.
La zone dorée est la portion de la surface du cône intérieure au tétraèdre.
L’axe du cylindre fait un angle fixe de 30° avec celui du cône. Sur chaque génératrice, être à distance Rc de cet axe est une équation du second degré : la courbe, en général gauche et de degré 4, est tracée point par point.
Glisser pour orbiter ; l’angle des deux axes reste fixé à 30°.
Retour à la source : un plan, et rien d’autre, tranche le cône. Contrairement aux planches 2 à 4, la courbe obtenue reste toujours plane et de degré 2 — c’est la vraie famille des coniques. Sa nature ne dépend que de l’inclinaison du plan, jamais de sa position.
Glisser pour orbiter ; les deux curseurs règlent le plan de coupe.