Cinq planches animées : du principe de Fermat à l'arc‑en‑ciel
La lumière ne connaît ni la trigonométrie ni l'algèbre linéaire, et pourtant elle se comporte exactement comme si elle les pratiquait. Chaque planche pose une question d'optique, laisse la figure la résoudre par le calcul, puis confronte le résultat à la formule classique : l'écart affiché est celui de la machine, pas celui de la théorie. Tous les nombres lus ci‑dessous sont calculés en direct par la page.
Un rayon part de S et doit atteindre T en traversant deux milieux où il ne va pas à la même vitesse. Fermat affirme qu'il choisit le trajet de durée minimale. Minimiser une fonction d'une variable est un problème de calcul différentiel pur : la figure cherche le minimum à l'aveugle, par section dorée, sans jamais utiliser la loi de Descartes — puis on compare.
Trait plein : le trajet essayé. Trait pointillé rouge : le trajet de durée minimale trouvé par le calcul.
Chemin optique L(x) = n₁·SP + n₂·PT en fonction de la position P du point de passage.
La recherche aveugle et la loi de Descartes tombent sur le même point, mais l'écart sur x plafonne vers 10⁻⁷ alors que l'écart sur le chemin optique vaut 10⁻¹⁶ : c'est la signature d'un minimum. Près du fond, L(x) − L(x*) ≈ ½ L″(x*)·(x − x*)², donc une erreur de position de 10⁻⁸ ne coûte que 10⁻¹⁶ de durée — l'ordinateur ne peut plus distinguer. C'est aussi pourquoi la nature est tolérante : tous les trajets voisins du bon sont pratiquement synchrones, et c'est exactement cette tolérance qui, en optique ondulatoire, permet aux ondes de s'additionner en phase le long du rayon de Fermat.
Toute l'optique instrumentale classique tient dans une relation entre trois nombres. Encore faut-il savoir d'où elle vient, et ce qu'elle coûte : elle repose sur sin θ ≈ θ, et cette petite audace se paie en netteté. Le second onglet trace les rayons sans aucune approximation et mesure la facture.
Rayon parallèle (bleu), rayon par le centre (vert), rayon par le foyer objet (ambre). En pointillé : prolongements virtuels.
Les trois rayons de construction ne sont pas trois recettes : ce sont trois cas particuliers d'une même application linéaire. Chacun se recoupe sur le même point à 10⁻¹⁵ près, et la relation de conjugaison n'est rien d'autre que la condition pour que ce recoupement existe. La relation de Newton FA · F′A′ = −f′² dit la même chose vue des foyers : le produit de deux distances est constant, c'est une hyperbole, et c'est elle qui gouverne la mise au point d'un appareil photo.
Dans l'approximation paraxiale, un rayon est un couple (y, u) : sa hauteur et sa pente. Traverser un espace vide ou une lentille agit linéairement sur ce couple — donc par une matrice 2×2. Un instrument, si compliqué soit-il, devient un produit de matrices, et ses propriétés se lisent dans quatre coefficients. La figure trace les rayons pas à pas, la matrice les prédit d'un coup.
Trois rayons issus du même point objet (ou trois rayons parallèles), propagés élément par élément.
Le déterminant vaut 1 quoi qu'on fasse : ce n'est pas un hasard mais l'invariant de Lagrange–Helmholtz, une conservation d'aire dans l'espace des rayons — le même théorème de Liouville qu'en mécanique hamiltonienne. Il interdit de concentrer la lumière sans en payer le prix en angle, et c'est lui qui limite les concentrateurs solaires. Le coefficient C contient la focale, B l'image, A le grandissement. Poussez l'écartement jusqu'à e = f′₁ + f′₂ : C s'annule exactement, le système devient afocal, et l'objet à l'infini reste à l'infini — c'est une lunette.
Deux ouvertures, une différence de marche, et l'addition de deux cosinus : les franges d'interférence sont un théorème de trigonométrie rendu visible. La figure du haut montre le champ d'ondes lui-même, celle du bas ce qu'un écran en retient. L'interfrange n'est pas posé a priori : il est mesuré sur la courbe et comparé à la formule.
Champ de deux sources en phase (vue de principe, écartement exprimé en longueurs d'onde). Les lignes sombres sont les hyperboles d'interférence destructive.
Éclairement sur un écran à distance D, avec la différence de marche calculée exactement (sans approximation des petits angles).
L'interfrange mesuré sur la courbe exacte diffère de λD/a de quelques millionièmes : c'est toute l'erreur de l'approximation δ ≈ a·x/D, un développement limité de plus. Augmentez N : les pics s'affinent comme 1/N — c'est le principe du réseau, et la raison pour laquelle un spectrographe sépare d'autant mieux les couleurs qu'il a plus de traits. Le pouvoir de résolution d'un télescope vient du même calcul en géométrie circulaire : le premier zéro de la fonction de Bessel J₁, cherché ici par dichotomie sur sa série entière, donne 3,831705970… et le facteur 1,22 du critère de Rayleigh n'est que ce nombre divisé par π.
Descartes, en 1637, fit le calcul que voici : un rayon entre dans une goutte sphérique, s'y réfléchit une fois, ressort. Sa déviation dépend du point d'entrée. On cherche le minimum de cette déviation — une dérivée qui s'annule — et l'on obtient un angle. Cet angle, la page le calcule à l'aveugle, le confronte à la formule exacte, puis dessine le ciel qui en résulte. Rien n'est placé à la main.
Une goutte d'eau et un faisceau parallèle. Le rayon rouge est celui de déviation minimale : autour de lui, les rayons s'accumulent.
À gauche : déviation en fonction du point d'entrée. À droite : où partent 40 000 rayons répartis uniformément sur la goutte.
Le ciel reconstitué : chaque arc est tracé au rayon angulaire calculé pour sa longueur d'onde, l'observateur au centre, le soleil dans son dos.
Aucune couleur n'a été placée : les deux arcs, leur épaisseur, l'ordre inversé du second et la bande sombre entre les deux sortent tous du même minimum de déviation, calculé longueur d'onde par longueur d'onde. La bande d'Alexandre, décrite au IIe siècle et restée inexpliquée quinze cents ans, est une simple conséquence d'inégalité : aucun rayon ne peut sortir entre 42,4° et 50,3°, car ce sont les extrémités de deux intervalles disjoints. Et le blanc surnuméraire sous l'arc échappe encore à ce calcul : il faut passer à l'optique ondulatoire et à l'intégrale d'Airy, c'est-à-dire remplacer le minimum d'une fonction par la phase stationnaire d'une intégrale — la même idée, d'un cran plus haut.