La loi qui répond à « combien de temps avant le k-ième événement ? ». Elle généralise la loi exponentielle — une seule attente — à l'attente cumulée de plusieurs événements, et prête sa forme à des lois qu'on croise partout ailleurs.
La loi exponentielle modélise le temps d'attente jusqu'à un événement rare, avec une intensité (un taux) constante. La question naturelle qui suit : combien de temps faut-il attendre pour voir k événements se produire ?
Si les temps d'attente entre événements successifs sont indépendants et suivent tous la même loi exponentielle de moyenne θ, leur somme suit une loi Gamma de paramètres k et θ :
Quand k est un entier, ce cas particulier porte un nom : la loi d'Erlang, inventée par le mathématicien danois du même nom pour dimensionner les premiers réseaux téléphoniques. La loi Gamma va plus loin : elle donne un sens à cette somme même quand k n'est pas entier, grâce à la fonction Gamma du §3.
Pour que k puisse prendre n'importe quelle valeur réelle positive — pas seulement un entier — il faut remplacer la factorielle (k−1)! par quelque chose de continu. C'est le rôle de la fonction Gamma, définie par une intégrale :
Sur les entiers, elle coïncide exactement avec la factorielle décalée d'un cran : Γ(n) = (n−1)! pour n entier — par exemple Γ(5) = 4! = 24. C'est cette même intégrale qui apparaît au dénominateur de la densité, pour que l'aire totale sous la courbe vaille exactement 1 quel que soit k.
Pour x > 0, la densité de Γ(k, θ) s'écrit :
Attention aux notations : certains ouvrages utilisent un taux λ = 1/θ plutôt qu'une échelle θ — on parle alors de paramétrage (k, λ) ou (α, β). Les deux décrivent la même famille de lois ; seule l'écriture change.
Trois faits suffisent pour retenir l'essentiel de la loi Gamma, et une propriété d'addition qui explique pourquoi elle revient si souvent :
Cette dernière ligne dit simplement que si on met bout à bout deux attentes cumulées qui partagent la même échelle θ, on obtient une attente cumulée plus longue — cohérent avec l'interprétation du §2. Elle explique aussi pourquoi certaines lois bien connues ne sont que des Gamma déguisées :
| Loi | Paramètres | Lien avec Γ(k, θ) |
|---|---|---|
| Exponentielle(λ) | k = 1, θ = 1/λ | un seul temps d'attente |
| Erlang(k, λ) | k entier, θ = 1/λ | somme de k exponentielles |
| Khi-deux à n degrés | k = n/2, θ = 2 | somme de carrés de normales |
Un centre d'appels reçoit des appels selon un processus de Poisson au taux λ = 3 appels par heure. On note T le temps d'attente jusqu'au 5-ième appel. Quelle est la probabilité qu'il faille attendre plus de 2 heures ?
On modélise : T ∼ Γ(k = 5, θ = 1/λ = 1/3 h), somme de 5 temps d'attente exponentiels indépendants.
Espérance et écart-type : E[T] = kθ = 5/3 h ≈ 1 h 40, σ = √(kθ²) ≈ 0,745 h ≈ 45 min.
Astuce du calcul : « attendre plus de 2h le 5-ième appel » équivaut à « moins de 5 appels sont arrivés en 2h ». On bascule donc sur une loi de Poisson de moyenne λt = 3 × 2 = 6 :
Avec λt = 6 et k = 5 : P(N2 ≤ 4) = e−6(1 + 6 + 18 + 36 + 54) ≈ 0,285.
Le temps cumulé pour observer k événements indépendants espacés en moyenne de θ.
f(x) = xk−1 e−x/θ / (Γ(k) θk) pour x > 0.
E[T] = kθ, Var(T) = kθ².
k = 1 → exponentielle · k entier → Erlang · k = n/2, θ = 2 → khi-deux.