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La cissoïde

Génération d'une courbe plane par un pôle et deux courbes
Définition. Soient deux courbes 𝒞₁ et 𝒞₂ et un point fixe O, le pôle. Toute droite issue de O coupe 𝒞₁ en M₁ et 𝒞₂ en M₂ ; on lui associe le point P défini par OP⃗ = M₁M₂⃗, c'est-à-dire OP = OM₂ − OM₁. Quand la droite tourne autour du pôle, P décrit la cissoïde de 𝒞₁ et 𝒞₂ relativement à O. Ici : 𝒞₁ est un cercle passant par O et 𝒞₂ une droite verticale dont on règle la position.
Courbe : — θ = — OM₁ = — OM₂ = — OP = OM₂ − OM₁ = —
Astuce : déplacez la droite verticale avec le curseur. Deux positions remarquables — droite tangente au cercle (curseur à 200) : cissoïde de Dioclès ; droite passant par le centre du cercle (curseur à 100) : strophoïde droite.

Ce que montre l'animation

Une droite pivote autour du pôle O. À chaque instant, elle rencontre le cercle 𝒞₁ (de diamètre OA = 2a) en M₁ et la droite 𝒞₂ en M₂. Le segment M₁M₂ est reporté à partir du pôle : le point P vérifie OP⃗ = M₁M₂⃗ (les doubles barres marquent l'égalité des longueurs). Le lieu de P, tracé en rouge sombre, est la cissoïde. En repérant la droite par son angle θ avec l'axe OA, la mesure algébrique donne directement l'équation polaire :

r(θ) = OM₂ − OM₁ = d/cos θ − 2a cos θ

où d est la distance du pôle à la droite. La droite 𝒞₂ est asymptote de la courbe : quand θ tend vers ±90°, le point P s'en approche indéfiniment sans l'atteindre.

Deux courbes célèbres dans une même famille

Droite tangente au cercle (d = 2a) : on obtient la cissoïde de Dioclès, d'équation polaire r = 2a sin²θ/cos θ, soit en coordonnées cartésiennes x³ = y²(2a − x). Elle présente un point de rebroussement au pôle. Dioclès l'introduisit vers 180 av. J.-C. pour résoudre le problème de Délos — la duplication du cube : la courbe permet de construire géométriquement 3√2, ce que la règle et le compas seuls ne peuvent pas faire. Son nom vient du grec kissos, le lierre, dont la feuille évoque la forme du rebroussement.

Droite passant par le centre du cercle (d = a) : la même construction engendre la strophoïde droite, r = −a cos 2θ/cos θ, qui présente un point double en O et une boucle. Entre ces deux positions, et au-delà, on obtient les cissoïdes obliques du cercle et de la droite : déplacez le curseur pour voir la boucle naître, se résorber au rebroussement, puis la courbe s'ouvrir.

Quelques propriétés de la cissoïde de Dioclès

C'est une cubique rationnelle : elle se paramètre par x = 2a t²/(1+t²), y = 2a t³/(1+t²) avec t = tan θ. L'aire comprise entre la courbe et son asymptote vaut 3πa² — trois fois l'aire du cercle générateur. Elle est aussi le lieu des projections orthogonales du sommet d'une parabole sur ses tangentes, et l'inverse d'une parabole par rapport à son sommet.

Remarque. La construction cissoïdale est un procédé général : en changeant les deux courbes et le pôle, elle engendre bien d'autres lieux. La cissoïde de deux droites concourantes est une droite ; celle d'un cercle et de son diamètre, prise depuis un point du cercle, redonne la strophoïde ; celle de deux cercles peut produire des limaçons de Pascal.