francebalade.fr Cours de Mathématiques Table des matières Votre avis sur ce site

Cahier de géométrie · planches animées

Les bases de la géométrie,
dans le plan et dans l'espace

Le point, la droite, le plan, l'angle, la distance : cinq planches où chaque objet se manipule et où chaque affirmation est recalculée deux fois par deux chemins différents, la formule d'un côté, une mesure numérique indépendante de l'autre. L'écart entre les deux est affiché tel quel.

Planche 1

Deux points, une droite

Déplacez A, B et C à la souris ou au doigt. La droite (AB) s'écrit de deux façons : par une équation cartésienne ax + by + c = 0 et par une représentation paramétrique M = A + t·AB. Le curseur promène M sur la droite.

droite (AB) hauteur issue de C point mobile M

paramètre t0,650

A—

B—

C—

longueur AB (Pythagore)—

équation de (AB)—

contrôle : l'équation en A et en B—

M = A + t·AB—

contrôle : l'équation en M—

AM / AB comparé à |t|—

déterminant det(AB, AC)—

distance de C à (AB) — formule—

distance de C à (AB) — minimum cherché—

écart entre les deux—

aire ABC : ½·|det| contre ½·AB·h—

Ce qu'il faut retenir. Le déterminant det(AB, AC) mesure d'un seul nombre trois choses à la fois : il s'annule exactement quand les trois points sont alignés, sa valeur absolue vaut le double de l'aire du triangle, et divisée par AB elle donne la distance de C à la droite. La « distance » n'est pas définie autrement que comme le plus petit des segments joignant C à un point de la droite : c'est ce minimum que la seconde ligne va chercher à l'aveugle, sans utiliser la formule.

Planche 2

L'angle, la projection, le produit scalaire

Deux vecteurs partant de O. Le produit scalaire se calcule ici de deux manières indépendantes : avec les coordonnées, et avec les longueurs et le cosinus de l'angle.

vecteur u vecteur v projection de v sur (O,u)

‖u‖3,20 angle de u18° ‖v‖2,40 angle de v82°

u—

v—

angle (u, v)—

u·v par les coordonnées—

‖u‖·‖v‖·cos θ—

écart—

mesure algébrique OH = u·v / ‖u‖—

contrôle : OH mesuré sur la figure—

Pythagore : ‖v‖² − (OH² + HV²)—

det(u, v) = ‖u‖·‖v‖·sin θ—

identité (u·v)² + det² − ‖u‖²‖v‖²—

position relative—

Ce qu'il faut retenir. Le produit scalaire est la longueur de u multipliée par la mesure algébrique de la projection de v sur u. Il s'annule exactement quand les deux directions sont perpendiculaires : c'est la définition calculatoire de l'angle droit, celle qui se transportera sans un mot de changement dans l'espace à la planche suivante. Le déterminant, lui, mesure l'aire ; les deux ensemble reconstituent ‖u‖²‖v‖² puisque cos² + sin² = 1.

Planche 3

Trois points définissent un plan

Faites tourner la scène en la faisant glisser. Le vecteur normal n = AB ∧ AC est perpendiculaire à toutes les directions du plan ; il fournit l'équation ax + by + cz + d = 0 et la distance du point D au plan.

plan (ABC) normale n et hauteur DH tétraèdre ABCD

hauteur de C0,90 hauteur de D2,30 abscisse de D−0,60

normale n = AB ∧ AC—

‖n‖ = 2 × aire(ABC)—

équation du plan—

contrôle : l'équation en A, B, C—

contrôle : n·AB et n·AC—

distance de D au plan — formule—

distance de D au plan — minimum cherché—

écart entre les deux—

produit mixte (AB, AC, AD)—

volume du tétraèdre — |mixte| / 6—

volume — ⅓ · aire(ABC) · hauteur—

écart entre les deux volumes—

position de D—

Ce qu'il faut retenir. Dans l'espace, le rôle que jouait le déterminant de deux vecteurs est tenu par le produit mixte de trois vecteurs : il s'annule exactement quand les quatre points sont coplanaires, sa valeur absolue vaut six fois le volume du tétraèdre, et divisée par ‖n‖ elle donne la distance de D au plan. Trois points suffisent à définir un plan, et pas quatre : c'est pourquoi un tabouret à trois pieds ne boite jamais.

Planche 4

Qui rencontre qui

Les positions relatives, la question centrale de la géométrie dans l'espace. Deux droites peuvent être parallèles, sécantes — ou ni l'un ni l'autre, ce qui n'arrive jamais dans le plan.

droite D₁ / plan π droite D₂ / droite D perpendiculaire commune / point d'intersection

hauteur de D₂1,40 angle de D₂63° position de D₂0,00

u ∧ v (test de parallélisme)—

produit mixte (P₁P₂, u, v)—

position relative—

distance D₁D₂ — formule—

distance D₁D₂ — minimum cherché—

écart entre les deux—

contrôle : le segment HK est ⟂ à u et à v—

Ce qu'il faut retenir. Deux droites de l'espace sont coplanaires si et seulement si le produit mixte (P₁P₂, u, v) est nul ; sinon elles ne se rencontrent pas et ne sont pas parallèles — on dit qu'elles sont non coplanaires, ou gauches. Elles admettent alors une unique perpendiculaire commune, dont la longueur est leur distance. Pour une droite et un plan tout se lit sur un seul nombre, n·v : s'il n'est pas nul il y a un point d'intersection et un seul ; s'il est nul, la droite est parallèle au plan, incluse dedans ou non selon qu'un de ses points y est ou non.

Planche 5 · élément signature

Ce que l'espace fait perdre au plan

Trois énoncés vrais dans le plan et faux dans l'espace, chacun mis à l'épreuve numériquement. Une dimension de plus, et trois habitudes s'effondrent.

dans le plan — couples tirés—

dans le plan — couples sécants—

contrôle : le point trouvé est sur les deux droites—

dans l'espace — couples sécants—

dans l'espace — distance minimale observée—

dans l'espace — distance moyenne—

contrôle : formule contre minimum cherché (écart max)—

Dans le plan, deux droites non parallèles se coupent toujours. Dans l'espace, jamais : deux droites tirées au hasard sont non coplanaires avec probabilité 1, et le calcul le confirme sur deux mille couples sans une seule exception. Se couper est devenu une coïncidence — une condition d'égalité, celle du produit mixte, au milieu d'un continuum. C'est la raison profonde pour laquelle l'espace se raisonne avec des plans plutôt qu'avec des droites.