Triangles
Dans le plan euclidien, la somme des trois angles intérieurs d’un triangle est toujours égale à 180°.
La géométrie euclidienne
La géométrie euclidienne est la géométrie classique, formalisée par Euclide dans l’Antiquité. Elle étudie les figures dans un espace « plat » et repose notamment sur le postulat des parallèles.
Parallèles
Par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite.
Géométrie du triangle
Une présentation claire et interactive des configurations remarquables qui relient les principaux centres d’un triangle.
1. La droite d’Euler
Dans tout triangle non équilatéral, trois points remarquables sont alignés. La droite qui les contient porte le nom de droite d’Euler.
Propriété fondamentale
Le centre de gravité G partage le segment reliant O à H dans un rapport constant : OG : GH = 1 : 2. Autrement dit, G se trouve aux deux tiers du trajet allant de H vers O, ou au tiers du trajet allant de O vers H.
\(\overrightarrow{OH}=3\,\overrightarrow{OG}\)
Cas particulier : dans un triangle équilatéral, O, G et H sont
confondus. La droite d’Euler n’a alors pas de direction privilégiée.
2. Le cercle d’Euler, ou cercle des neuf points
Le cercle d’Euler est le cercle unique passant par neuf points naturellement associés à un triangle. Ces points se répartissent en trois familles.
Milieux des côtés
Les milieux de [AB], [BC] et [CA].
Pieds des hauteurs
Les projections orthogonales des sommets sur les côtés opposés.
Milieux vers l’orthocentre
Les milieux des segments [AH], [BH] et [CH], parfois appelés points d’Euler.
Présentation interactive
Déplacez les sommets A, B et C. Les centres et les neuf points sont recalculés instantanément.
Le lien remarquable entre la droite et le cercle
La droite d’Euler constitue ainsi le support commun des centres O, G, H et Ω. Le cercle des neuf points rassemble, quant à lui, une grande partie des points structuraux du triangle. Il ne faut toutefois pas considérer la droite d’Euler comme un axe de symétrie du triangle en général : elle ne joue ce rôle que dans certains triangles particuliers, notamment les triangles isocèles.
Généralisation dans l'espace à trois dimensions
Le triangle devient un tétraèdre et le cercle une sphère.
Dans un tétraèdre quelconque, les hauteurs ne sont plus concourantes : l’orthocentre disparaît.
Gaspard Monge a découvert le point qui le remplace — et avec lui, la droite d’Euler survit en dimension 3 : O, G et le point de Monge M sont alignés, avec G milieu de [OM].
Dans un tétraèdre orthocentrique, douze points remarquables — les centres de gravité des quatre faces, les pieds des quatre hauteurs et les quatre points d’Euler — appartiennent à une même sphère, l’analogue exact du cercle des neuf points.
La démonstration ? Non plus une, mais deux homothéties qui fabriquent la même sphère.