Le théorème de Ptolémée
Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle. Claude d’Alexandrie — Ptolémée — établit vers 150 apr. J.-C. que le produit des diagonales égale la somme des produits des côtés opposés :
La démonstration classique passe par des triangles semblables. Celle qui suit, plus moderne, utilise l’inversion : elle tient en trois lignes une fois la machine en place.
Vous pouvez déplacer les points B, C et D sur le cercle à tout moment.
La machine : une inversion de pôle A
On choisit l’inversion i de pôle A (un sommet du quadrilatère) et de rapport k² : tout point M ≠ A est envoyé sur le point M′ de la demi-droite [AM) tel que
Le cercle orangé est le cercle d’inversion, de centre A et de rayon k : ses points sont fixes. Ce qui est près du pôle est projeté loin, ce qui est loin s’approche.
Le cercle devient une droite
Propriété clé de l’inversion : l’image d’un cercle passant par le pôle est une droite (privée du pôle).
Or le cercle circonscrit à ABCD passe précisément par A ! Son image est donc la droite bleue, et les points B, C, D sont envoyés sur trois points B′, C′, D′ de cette droite.
Regardez le cercle se déplier le long des rayons issus de A.
Trois points alignés
Sur le cercle, C est situé entre B et D sur l’arc qui ne contient pas A. L’inversion respecte l’ordre des demi-droites issues de A : sur la droite image, C′ est entre B′ et D′.
L’alignement donne alors une simple addition de longueurs :
Toute la géométrie du théorème est déjà là. Il ne reste qu’à traduire ces trois longueurs.
Comment l’inversion mesure les distances
Pour deux points M, N distincts du pôle, les triangles AMN et AN′M′ sont semblables (car AM·AM′ = AN·AN′ = k², l’angle en A étant commun). On en tire la formule des distances :
La figure montre le cas M = B, N = C : le petit triangle ABC et le grand triangle AC′B′ se répondent, sommets échangés.
La substitution
On applique la formule des distances aux trois longueurs de l’égalité B′D′ = B′C′ + C′D′ :
On multiplie les deux membres par AB · AC · ADk ² , et tout se simplifie :
Conclusion — et vérification à la souris
Le théorème de Ptolémée est démontré :
L’inversion a remplacé une configuration circulaire par une configuration alignée, où l’identité devient une addition évidente — c’est tout l’esprit de la méthode.
Déplacez B, C ou D sur le cercle : l’égalité, recalculée ci-dessous en direct, reste vraie au centième près.
Inversion de pôle A, rapport k². L’animation respecte le réglage « réduire les animations » du système.