Trois axiomes suffisent à Kolmogorov, en 1933, pour fonder toute la discipline : une probabilité est une mesure d'aire sur l'ensemble des possibles. Tout le reste — le conditionnement, l'espérance, les théorèmes limites, les marches aléatoires — s'en déduit. Cette page fait tourner la machine et compare chaque fois le comptage à la formule.
Le carré est l'univers : aire totale 1. L'événement A est la bande de gauche, l'événement B la région basse — dont la hauteur peut différer selon qu'on est dans A ou non. Conditionner, c'est simplement changer de carré : oublier tout ce qui n'est pas B et regarder quelle fraction en occupe A.
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Dix mille personnes, une par carré. Un test détecte 99 % des malades et n'accuse à tort que 1 % des bien portants — excellent, dirait-on. Reste la question que pose le patient : « je suis positif, quelle est la probabilité que je sois malade ? » Ce n'est pas la même question, et la réponse dépend surtout d'un nombre qui n'a rien à voir avec le test.
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L'espérance est le point d'équilibre de la loi : posez la distribution sur une réglette, elle bascule autour de μ. La variance mesure l'écartement des masses à ce point d'appui. Avec ces deux nombres seulement, sans rien savoir d'autre, Bienaymé et Tchebychev bornent la probabilité de s'éloigner : P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k².
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La moyenne des tirages se rapproche de l'espérance : c'est le premier théorème de la théorie, démontré par Bernoulli. L'échelle horizontale est logarithmique, si bien que le couloir ±2σ/√n devient une trompette régulière. Mais ce théorème a une condition d'existence, et une loi célèbre ne la remplit pas.
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Un pas à droite ou à gauche, à pile ou face, indéfiniment. C'est le plus simple des processus aléatoires, et le plus déroutant : il s'éloigne de son point de départ bien plus qu'on ne croit, il revient à zéro bien plus souvent qu'on ne croit, et il passe presque tout son temps du même côté.
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