1L'intégrale de Laplace
On part d'une fonction f définie sur [0 ; +∞[. On la multiplie
par le noyau e−pt, qui écrase tout ce qui est loin de l'origine,
et on ramasse l'aire de ce qui reste. Le nombre obtenu dépend de p : c'est
F(p).
F(p) = ℒ{f}(p) =
∫0+∞ f(t)
e−pt dt
③ le produit — l'aire vaut F(p)
Ce que montre l'animation. L'échelle verticale de la planche ③ est figée : quand
p augmente, l'aire coloriée fond à vue d'œil, et le point rouge de la planche ④
descend le long de la courbe. Le noyau ne fait que peser le passé : plus p est
grand, plus il ne regarde que les tout premiers instants — d'où le théorème de la valeur
initiale, f(0+) = lim p F(p)
quand p → +∞.
2Où l'intégrale converge
L'intégrale n'a pas toujours un sens. Si |f(t)|
≤ M eαt, le produit f(t)
e−pt décroît dès que p > α : le nombre α est
l'abscisse de convergence. Prenons
f(t) = eαt cos 2t
et faisons varier α.
le temps : f(t) et f(t)·e^(−pt)
la droite des p : zone interdite en gris
f(t)
f(t)·e^(−pt)
abscisse de convergence p = α
Le contrôle. On calcule la même intégrale tronquée à T = 60 puis à
T = 120. À droite de α les deux valeurs sont identiques à 10−12 près :
l'intégrale a convergé. À gauche de α elles n'ont plus rien à voir — l'une est 1010,
l'autre 1020 : l'intégrale diverge, et la formule tracée en pointillé n'est plus qu'un
prolongement analytique, sans intégrale derrière. En prime, la courbe se translate
exactement de α : c'est la règle
ℒ{eαtf} = F(p − α).
3Les quatre règles du calcul
Tout l'intérêt de la transformée tient dans ce tableau de correspondances :
une opération d'analyse à gauche, une opération d'algèbre à droite. On les vérifie ici une par une
sur f(t) = e−0,5t cos 2t,
dont F(p) est connue.
fonction de départ f — transformée F
fonction transformée — transformée obtenue
valeur en p
À retenir. Dériver revient à multiplier par p (au terme initial près),
intégrer revient à diviser par p, retarder revient à multiplier par
e−ap, et multiplier par t revient à dériver en
p avec un signe moins. Ajoutez la linéarité et la convolution
(ℒ{f ∗ g} = F G, vérifiée planche 4) et vous
disposez de tout le calcul opérationnel d'Heaviside.
4Résoudre une équation différentielle
L'oscillateur amorti soumis à un échelon :
y″ + 2ζω0y′ + ω0²y =
ω0², avec y(0) = y′(0) = 0. En transformant, les
dérivées deviennent des puissances de p et l'équation devient une fraction
rationnelle qu'il suffit de décomposer.
Y(p) =
ω0²
p (p² + 2ζω0p + ω0²)
les pôles de Y(p) dans le plan complexe
solution par Laplace
intégration numérique (Runge-Kutta 4)
pôles
Les pôles gouvernent tout. Ils sont à distance ω0 de l'origine et font avec
l'axe réel un angle dont le cosinus vaut ζ. Leur partie réelle −ζω0 fixe la vitesse
d'extinction, leur partie imaginaire ωd la période des oscillations. Quand ζ atteint 1
les deux pôles se rejoignent sur l'axe réel et les oscillations disparaissent. Le dépassement
mesuré sur la courbe est comparé à la formule classique
e−πζ/√(1−ζ²), et l'instant du premier maximum à π/ωd.
5Signature — remonter le temps
Reste la question inverse : connaissant F, comment retrouver
f ? La réponse de Bromwich et Mellin consiste à intégrer le long d'une
verticale du plan complexe, placée à droite de tous les pôles. Nous la calculons ici pour
de vrai, en tronquant à ±iΩ, et nous regardons la fonction du temps réapparaître.
f(t) =
12πi
∫c−i∞c+i∞
F(p) ept dp
=
ectπ
∫0+∞ ℛe[F(c+iω)
eiωt] dω
f(t) reconstruite depuis F(p)
le chemin d'intégration dans le plan complexe
fonction exacte
reconstruction tronquée à Ω
pôles de F
Trois faits mesurés à l'écran. ① Loin des sauts, l'erreur décroît en 1/Ω : le produit
erreur × Ω reste voisin d'une constante quand on déplace le curseur. ② Au voisinage d'un saut
l'ondulation ne s'aplatit jamais, elle se resserre : son premier maximum tombe en
t = π/Ω et dépasse la marche de 8,9490 % — le phénomène de Gibbs, ici sur une
intégrale de Laplace. ③ Le choix de la verticale c est théoriquement libre à
droite des pôles : deux verticales différentes donnent la même fonction, et leur écart tend vers
zéro quand Ω grandit. Numériquement, en revanche, le facteur ect
amplifie l'erreur de troncature — prendre c trop grand ruine le calcul, ce que
le curseur montre sans détour.
·Table des transformées usuelles
| f(t), t ≥ 0 | F(p) | domaine |
|---|
| 1 (échelon unité) | 1/p | ℛe p > 0 |
| tn, n entier | n! / pn+1 | ℛe p > 0 |
| eat | 1/(p − a) | ℛe p > a |
| t eat | 1/(p − a)² | ℛe p > a |
| sin ωt | ω/(p² + ω²) | ℛe p > 0 |
| cos ωt | p/(p² + ω²) | ℛe p > 0 |
| eat sin ωt | ω/((p − a)² + ω²) | ℛe p > a |
| eat cos ωt | (p − a)/((p − a)² + ω²) | ℛe p > a |
| sh ωt | ω/(p² − ω²) | ℛe p > |ω| |
| ch ωt | p/(p² − ω²) | ℛe p > |ω| |
| u(t − a), a > 0 | e−ap/p | ℛe p > 0 |
| δ(t) (impulsion) | 1 | tout p |
| 1/√(πt) | 1/√p | ℛe p > 0 |
| f′(t) | p F(p) − f(0+) | — |
| ∫0t f | F(p)/p | — |
| t f(t) | −F′(p) | — |
| (f ∗ g)(t) | F(p) G(p) | — |
Deux théorèmes de bout de table. Valeur initiale :
f(0+) = limp→+∞ p F(p). Valeur finale :
limt→+∞ f(t) = limp→0 p F(p), à condition que la limite temporelle existe —
appliquée étourdiment à F(p) = ω/(p² + ω²) elle donnerait 0 pour un sinus qui n'a pas de limite.
Et l'unicité (théorème de Lerch) garantit que deux fonctions continues ayant la même transformée
sont égales : la table se lit donc dans les deux sens.