La loi bêta la loi des proportions

Toute sa masse tient entre 0 et 1. C'est la loi qu'on emploie quand la quantité inconnue est elle-même une proportion : un taux de réussite, une part de marché, une probabilité qu'on cherche à estimer.

f(x) = x^α−1 (1−x)^β−1 ⁄ B(α, β), 0 < x < 1

Première planche

Deux paramètres, toutes les formes

α tire la courbe vers 1, β la tire vers 0. Leur somme mesure la concentration. Déplacez les curseurs : une seule famille produit l'uniforme, la cloche, le U, la courbe en J.

α — poids des succès 2,0

β — poids des échecs 5,0

Formes remarquables

Mouvement

Espérance α/(α+β)	—
Mode	—
Médiane	—
Écart-type	—
Masse sous 0,5	—

densité espérance mode traces figées

Trois seuils gouvernent le dessin. Si α < 1, la densité explose en 0 ; si β < 1, elle explose en 1. Entre les deux, α = β = 1 donne exactement la loi uniforme — la bêta contient donc « ne rien savoir » comme cas particulier. Et dès que α et β dépassent 1, un mode intérieur apparaît en (α−1)/(α+β−2).

Élément signature

La courbe qui apprend

Une pièce a une probabilité p de tomber sur face — inconnue de vous, réglable ici. On part d'un a priori Beta(α₀, β₀) et l'on jette la pièce. La bêta étant conjuguée de la binomiale, la mise à jour tient en une addition : Beta(α₀ + k, β₀ + n − k). Regardez la courbe se resserrer autour de la vérité.

Vraie valeur de p 0,35

A priori α₀ 1,0

A priori β₀ 1,0

Jeter la pièce

Jets n	0
Faces k	0
Fréquence observée	—
Moyenne a posteriori	—
Intervalle de crédibilité 95 %	—
Largeur de l'intervalle	—

a priori a posteriori intervalle 95 % vraie valeur

Ce qu'il faut lire. L'a priori Beta(1, 1) est plat : aucune opinion. Chaque face ajoute 1 à α, chaque pile ajoute 1 à β — d'où la lecture intuitive de α−1 comme « succès déjà vus ». La largeur de l'intervalle décroît en 1/√n : passer de 100 à 400 jets ne divise la fourchette que par deux. Et un a priori très marqué (α₀ = β₀ = 10) résiste visiblement aux premières données avant de céder.

Deuxième planche

D'où sort-elle ? Le k-ième d'un semis

Tirez n nombres au hasard, uniformément entre 0 et 1, puis rangez-les. Le k-ième plus petit suit exactement une loi Beta(k, n+1−k). C'est la façon la plus concrète de rencontrer cette loi : elle décrit la position d'un rang.

Nombre de tirages n 9

Rang observé k 3

Répéter l'expérience

Loi théorique	Beta(3, 7)
Espérance k/(n+1)	—
Semis accumulés	0
Moyenne empirique	—
Écart-type empirique	—

histogramme empirique densité Beta(k, n+1−k) dernier semis

Un cas parlant. Prenez k = 1 : le minimum de n uniformes suit Beta(1, n), une exponentielle tronquée collée contre 0, d'espérance 1/(n+1). Prenez k au milieu : la médiane empirique, symétrique et de plus en plus resserrée. Les n points découpent [0,1] en n+1 morceaux qui, en moyenne, mesurent tous 1/(n+1).

Loi bêta — densité, mise à jour bayésienne, statistiques d'ordre