La cascade de Feigenbaum

La construction en toile d'araignée rend l'itération visible : on monte verticalement jusqu'à la parabole, on repart horizontalement jusqu'à la diagonale, et on recommence. Là où la parabole coupe la diagonale trop raide, le point fixe cesse d'attirer et la toile se met à tourner en carré : c'est le cycle de période 2. Chaque doublement se produit quand la pente en valeur absolue franchit 1.

toilerégime permanentparabole et diagonale

Le multiplicateur décide de tout. Un cycle de période p est attractif tant que le produit des dérivées le long du cycle reste de module inférieur à 1. Quand ce produit passe par −1, le cycle se dédouble ; quand il passe par +1, il disparaît par pli. Toute la cascade est la répétition de la première de ces deux situations, à des échelles de plus en plus petites.

Pour chaque valeur de r, on laisse l'orbite s'installer puis on porte en ordonnée les valeurs qu'elle visite. Le résultat est l'une des images les plus reproduites des mathématiques du XXᵉ siècle : un tronc qui se fend en deux, puis en quatre, puis en huit de plus en plus vite, puis un brouillard — traversé de fenêtres blanches où l'ordre revient brutalement, dont la plus large est celle de période 3, à r = 3,8284.

Le même dessin ailleurs. Le diagramme est exactement la coupe de l'ensemble de Mandelbrot par l'axe réel : la substitution qui transforme rx(1 − x) en z² + c envoie le tronc sur la cardioïde, le premier dédoublement sur le disque de gauche, et chaque fenêtre périodique sur un petit Mandelbrot. Les fenêtres apparaissent dans un ordre qui ne doit rien au hasard non plus — c'est l'ordre de Sharkovski, dans lequel la période 3 vient en dernier, et implique donc toutes les autres.

Pour mesurer la cascade, le plus commode n'est pas de chercher les points de bifurcation mais les paramètres superstables Rₙ, ceux où le cycle de période 2ⁿ passe exactement par le sommet de la parabole. Ils se calculent par dichotomie sans aucune ambiguïté. Le rapport des écarts successifs converge alors vers δ, et le calcul ci-dessous est fait dans votre navigateur, à la dichotomie près.

Pourquoi ces deux nombres existent. Feigenbaum a remarqué que la fonction obtenue en composant deux fois l'application, puis en la redimensionnant du bon facteur, ressemblait à l'application de départ. Il en a déduit qu'il devait exister une fonction g vérifiant g(x) = −α·g(g(−x/α)) — une équation dont il n'existe aucune solution en forme close. δ est alors la valeur propre dominante de la linéarisation de cette opération de renormalisation. La preuve complète, par Lanford en 1982, a été l'une des premières démonstrations assistées par ordinateur.

Changez complètement d'application : un sinus, une parabole renversée, une exponentielle. Tant que le maximum est quadratique — la fonction s'aplatit comme un carré à son sommet — la cascade a exactement le même δ et le même α. Rendez le maximum plus plat, en puissance quatrième ou sixième, et les deux constantes changent : elles ne dépendent que de cet exposant, et de rien d'autre. C'est ce qu'on appelle une classe d'universalité.

Ce que l'universalité a permis de prédire. Parce que δ ne dépend pas des détails, il devient mesurable dans des expériences dont on ne connaît pas les équations. Le doublement de période a été observé dans la convection de l'hélium liquide, dans des oscillateurs électroniques, dans des réactions chimiques et dans des lasers, avec des rapports mesurés de 4,3 à 4,7 selon la qualité des mesures. C'est un cas rare où un nombre pur, calculé sans aucune physique, se lit sur un appareil.

L'élément décisif. Prenez la fenêtre du diagramme autour du n-ième paramètre superstable, resserrée de δ en largeur et de α en hauteur par rapport à la précédente, et retournée de haut en bas. Vous obtenez la même image. Ce n'est pas une ressemblance approximative : c'est la relation qui définit δ et α, et la cascade tout entière n'est rien d'autre que cette figure répétée à l'infini. Les rapports affichés sont mesurés sur les fenêtres, pas imposés.

Un objet sans échelle propre. À l'approche de r∞ = 3,569945672, la cascade n'a plus de taille caractéristique : chaque étage est le précédent réduit de 4,669 fois en largeur et de 2,503 fois en hauteur, indéfiniment. C'est la même situation qu'au point critique d'un changement de phase, et ce n'est pas une coïncidence — le groupe de renormalisation employé ici est celui-là même que Wilson venait d'introduire en physique statistique. Feigenbaum, physicien, a reconnu l'outil ; la suite logistique n'était que le prétexte.