De la vision à la géométrie
Dans une perspective centrale, on choisit un centre de projection O — l'œil, ou le centre optique d'un objectif — et un plan image Π. Pour tout point M de l'espace, son image M′ est l'intersection de la droite OM avec Π.
Construction géométrique
Cette définition ne dépend d'aucun dessin particulier : elle vaut dans le plan, dans l'espace à trois dimensions, et plus généralement en toute dimension.
Le rayon visuel est la droite qui passe par O et par M ; M′ en est le seul point commun avec Π.
La formule qui gouverne tout
Plaçons l'œil à l'origine O=(0,0,0) et le plan image en z=f. Pour M=(x,y,z), avec z≠0 :
Le facteur f/z explique à lui seul pourquoi un objet éloigné paraît petit. Les cinq planches qui suivent vérifient chacune une facette de cette formule par une seconde méthode de calcul, indépendante de la première.
1. Projeter un cube
Faites varier la focale, l'éloignement et la rotation. Chaque sommet est projeté par x′=f·x/z ; un sommet témoin (marqué en or) est en plus recalculé par une méthode totalement différente — une recherche de racine par dichotomie sur le paramètre du rayon visuel — pour vérifier que les deux s'accordent.
2. Points de fuite et ligne d'horizon
Deux rails parallèles, de direction d=(dx,dy,dz), sont projetés point par point. La formule place leur point de fuite en V=(f·dx/dz, f·dy/dz). On le vérifie en prolongeant à l'écran les deux rails projetés et en calculant leur intersection réelle — deux calculs indépendants qui doivent tomber au même pixel.
Le quatrième coefficient nul caractérise, en coordonnées homogènes, un point à l'infini — voir la planche 4.
3. Le birapport, seul invariant
Une projection centrale déforme les distances et les angles, mais conserve une seule quantité numérique : le birapport de quatre points alignés.
| Propriété | Conservée ? | Commentaire |
|---|---|---|
| Alignement, incidence | Oui | Une droite reste une droite. |
| Birapport de 4 points alignés | Oui | L'invariant numérique fondamental — planche ci-dessous. |
| Distances, angles, parallélisme | Non | Une longueur dépend de la profondeur ; des parallèles peuvent converger. |
A, B, C, D sont projetés depuis un centre S sur une seconde droite. Le birapport (A,B;C,D)=((c−a)/(c−b))÷((d−a)/(d−b)) est calculé sur la droite d'origine, puis recalculé sur les quatre points projetés — deux calculs sur deux droites différentes, censés coïncider exactement.
4. Coordonnées homogènes : un seul cadre pour le fini et l'infini
Un point ordinaire M=(x,y,z) s'écrit M ~ (X,Y,Z,W), avec x=X/W, y=Y/W, z=Z/W. Deux quadruplets proportionnels représentent le même point : (X,Y,Z,W) ~ (λX,λY,λZ,λW).
⎢0 f 0 0⎥
⎣0 0 1 0⎦ [ũ ṽ w̃]ᵀ = P·[X Y Z W]ᵀ, u=ũ/w̃, v=ṽ/w̃
La troisième ligne de P ignore W : c'est algébriquement pourquoi l'image ne dépend pas du facteur d'échelle λ, ni même de l'existence de W (cas W=0, point à l'infini).
5. Cinq siècles, une seule formule
De la toile quadrillée d'Alberti au capteur d'un satellite, h′=f·H/z ne change jamais. Parcourez cinq usages historiques et actuels ; chaque valeur est recalculée par une seconde voie, purement trigonométrique — un angle sous-tendu θ=atan(H/2z) puis h′=2f·tanθ — qui doit retomber sur f·H/z à la précision d'une machine.
📷 Vision par ordinateur
Modèle sténopé, calibration, reconstruction 3D et photogrammétrie.
🎮 Graphisme 3D
Matrices de modèle, de vue et de projection appliquées par le GPU à chaque sommet.
🤖 Robotique
Le SLAM combine géométrie projective, suivi de points et estimation du mouvement.
🏛 Architecture
Anticiper l'apparence d'un volume et contrôler visuellement ses lignes de fuite.
🛰 Télédétection
Orthorectification, assemblage d'images, mesure à partir de vues aériennes ou satellitaires.
🧠 Géométrie moderne
Langage naturel pour les coniques, les dualités et de nombreuses constructions algébriques.
Repères historiques
Expérimente une construction géométrique de la perspective linéaire à Florence.
Formalise les règles de la perspective dans De pictura — la costruzione legittima.
Développe une théorie des projections, fondatrice de la géométrie projective.
La discipline devient une branche autonome, puissante et algébrique.
À retenir
Pourquoi les objets lointains paraissent-ils petits ?
Leurs coordonnées projetées sont multipliées par f/z ; quand z augmente, ce facteur diminue — planche 1 et planche 5.
Pourquoi des parallèles se rencontrent-elles dans l'image ?
Une direction de l'espace correspond à un point à l'infini (W=0) ; sa projection produit un point de fuite bien défini — planches 2 et 4.
Quelle grandeur résiste à la perspective ?
Le birapport de quatre points alignés, contrairement aux longueurs et aux angles — planche 3.
La perspective n'est pas seulement une technique pour dessiner « comme l'œil voit ». En ajoutant des points à l'infini et en utilisant les coordonnées homogènes, on obtient un cadre unique où points finis et directions se manipulent avec la même matrice — le langage naturel de la vision, de l'imagerie et de la géométrie projective.