Prenons un cube d'arête 1 et infligeons-lui les trois gestes à la fois : on le déplace, on le fait tourner, on l'étire. Puis on dérive par rapport au temps — une fois, deux fois, trois fois — et l'on regarde ce que deviennent la vitesse, l'accélération et le jerk en chaque point du cube. On finit par empiler les instants les uns sur les autres : le cube devient un tube d'univers, dont notre présent n'est qu'une coupe.
Repérons chaque grain de matière par sa position X dans le cube de départ. Le mouvement le plus général qui garde les faces planes et les arêtes droites s'écrit :
Le vecteur c(t) porte la translation. La matrice A(t) porte tout le reste, et le théorème de décomposition polaire la sépare de manière unique en une rotation R — orthogonale, de déterminant +1 — et une déformation pure U — symétrique définie positive. Tourner et déformer ne sont pas la même chose, et cette séparation le prouve.
Trois vérifications tournent en continu. RᵀR − I et U − Uᵀ restent à 10⁻¹⁶ : la décomposition est bien orthogonale d'un côté, symétrique de l'autre. Le produit des trois étirements principaux redonne exactement det A, c'est-à-dire le rapport des volumes. Et si l'on coupe la déformation, les trois étirements valent 1,000000000000 : le mouvement redevient rigide.
Dérivons une fois. Comme le mouvement est affine en X, la vitesse l'est aussi :
La matrice L, gradient des vitesses, se scinde en une part symétrique D et une part antisymétrique W. La première est le taux de déformation : ses vecteurs propres donnent les directions qui s'allongent et celles qui se raccourcissent le plus vite. La seconde est le taux de rotation, équivalente au vecteur ω. Un mouvement rigide, c'est exactement D = 0.
La formule de Jacobi affirme que tr D = J̇ / J, où J = det A est le rapport des volumes : la trace du taux de déformation est le taux de dilatation volumique. Les deux nombres sont calculés indépendamment — l'un par la trace de la matrice, l'autre par différence finie sur le déterminant — et coïncident à 10⁻⁹ près. Quand on rend le mouvement rigide, ‖D‖ tombe à 10⁻¹⁷ et ω retrouve exactement θ̇ u.
Dérivons encore : a = c̈ + Ä · X. Le champ reste affine, mais une subtilité apparaît dès qu'on veut le lire « sur place », c'est-à-dire en un point fixe de l'espace que la matière traverse. La dérivée qui compte est la dérivée particulaire :
Le premier terme est ce que mesure un capteur immobile ; le second, dit convectif, vient de ce que la matière se déplace vers des endroits où la vitesse est différente. Les deux comptent, et pour ce cube le terme convectif est de loin le plus gros. Confondre ∂v/∂t avec l'accélération est l'erreur classique.
Le terme ∂v/∂t est calculé par différence finie sur le champ eulérien, à position fixe — la matière change, pas le point d'observation. On lui ajoute L·v, et l'on compare à l'accélération obtenue en dérivant deux fois la trajectoire du grain de matière. Les deux voies se rejoignent à 10⁻¹⁰ près, alors que chacun des deux termes vaut plusieurs unités.
Une dérivation de plus donne j = c⃛ + A⃛ · X, en m·s⁻³. C'est la secousse : ce qui se ressent quand une accélération change brutalement, ce qui fatigue les liaisons et ce que les cames et les rampes de démarrage sont conçues pour lisser.
Un fait structurel mérite d'être noté : puisque le mouvement est affine en X, toutes ses dérivées le restent. À chaque ordre il ne faut que douze nombres — trois pour c⁽ⁿ⁾, neuf pour A⁽ⁿ⁾ — pour connaître le champ en tout point du cube. La complexité n'augmente pas avec l'ordre ; seules les amplitudes explosent.
| Ordre | Norme exacte | Pas h | Écart relatif brut | Richardson |
|---|
La déformation oscille à la pulsation Ω. Sa contribution à la vitesse est en Ω, à l'accélération en Ω², au jerk en Ω³. Le bouton double Ω : la part déformation du jerk est multipliée par huit, celle de la vitesse par deux seulement. C'est pourquoi une petite vibration rapide, invisible sur la trajectoire, domine complètement la troisième dérivée.
Empilons maintenant les instants. Dans l'espace à quatre coordonnées (x, y, z, t), le cube en mouvement n'est pas un objet qui bouge : c'est un objet fixe à quatre dimensions, son tube d'univers. Ce que nous appelons « le cube maintenant » n'en est qu'une coupe, prise par l'hyperplan t = t₀.
À gauche, les coupes elles-mêmes, empilées en transparence et teintées du bleu au rouge selon l'instant : c'est le tube tel qu'on peut le montrer sans tricher, coupe par coupe. À droite, la même chose pour une version réduite du problème — un carré du plan (x, y) soumis aux mêmes trois gestes — où le temps peut être porté par le troisième axe et le tube devient un vrai volume, tordu et étranglé.
Le curseur λ incline l'hyperplan de coupe : au lieu de couper à t constant, on coupe selon t + λ·x = s. Le tube d'univers, lui, n'a pas bougé d'un cheveu — c'est un objet figé à quatre dimensions. Mais la forme qu'on en retire change.
Le bouton « translation uniforme seule » rend le résultat frappant : plus aucune déformation dans le mouvement, un simple glissement à vitesse constante, et pourtant la coupe oblique sort comprimée, d'un facteur qui vaut exactement 1/(1 + λ V). La lecture le vérifie à 10⁻¹⁵ près.
C'est la morale de la planche. Un solide « déformé » n'est pas une propriété du tube d'univers, mais du couple tube + découpe. Choisir un instant présent, c'est déjà choisir une forme. La relativité restreinte pousse cette remarque jusqu'au bout en faisant dépendre l'inclinaison du plan de coupe de la vitesse de l'observateur ; ici, elle tient déjà en géométrie pure.
Trois nombres se répondent dans la lecture : l'aire de la coupe droite, l'aire de la coupe inclinée, et leur rapport. Pour la translation uniforme, ce rapport est le déterminant exact 1/(1 + λV). Pour le mouvement complet, la coupe inclinée n'est même plus un parallélogramme — les côtés opposés cessent d'être parallèles, et l'écart mesuré le dit. Le tube d'univers ne se réduit à un objet familier que si on le tranche comme il faut.