Des aiguilles aimantées sur un réseau, deux valeurs possibles, une seule règle : ressembler à ses voisins coûte moins cher. De cette règle minuscule sort une transition de phase.
Simulation par l'algorithme de Metropolis
Chaque case porte un spin σ = ±1. L'énergie d'une configuration s'écrit
E = −J Σ⟨i,j⟩ σiσj − h Σi σi
et l'on tire les configurations avec la probabilité e−E/kT. On pose J = 1 et k = 1 : la température se lit alors directement en unités de J. L'algorithme de Metropolis retourne un spin au hasard si cela abaisse l'énergie, et l'accepte quand même avec la probabilité e−ΔE/T sinon — c'est cette clémence qui fabrique le désordre thermique.
Trace : aimantation m au fil du temps, entre −1 et +1. Sous Tc elle se fixe sur un signe ; au-dessus elle oscille autour de zéro.
Bleu : σ = +1. Crème : σ = −1. Le champ h est neutralisé en mode Wolff, où il n'a pas de sens ; le signe global y est fixé pour la lisibilité, l'algorithme retournant volontiers le réseau entier à basse température.
Près de Tc, retourner les spins un par un devient désespérément lent : les grands domaines mettent un temps fou à se réorganiser. Wolff propose de retourner d'un coup un amas entier, construit en reliant deux voisins de même signe avec la probabilité 1 − e−2J/T. Ces amas ne sont pas un artifice de calcul : ce sont les amas de la représentation de Fortuin et Kasteleyn, qui transforme littéralement le modèle d'Ising en un problème de percolation par liens corrélés. Les deux modèles de la page précédente sont le même modèle.
Balayage en température, confronté à la solution exacte d'Onsager
On descend la température par paliers. À chaque palier on laisse le système s'équilibrer, puis on mesure : aimantation moyenne |m|, énergie, et leurs fluctuations, qui donnent la susceptibilité χ = N(⟨m²⟩ − ⟨|m|⟩²)/T et la chaleur spécifique C = N(⟨e²⟩ − ⟨e⟩²)/T². Onsager a calculé en 1944 la courbe exacte en volume infini : m = [1 − sinh−4(2J/T)]1/8 sous Tc, nulle au-dessus.
Points bleus : mesures. Trait rouge : Onsager. Le pied de la courbe simulée reste arrondi au voisinage de Tc : c'est l'effet de taille finie, il s'atténue quand on augmente le côté du réseau.
Sur une chaîne, briser l'ordre coûte 2J — le prix d'une seule paroi — mais rapporte une entropie k ln L, puisque la paroi peut se placer n'importe où. Dès que T > 0, le second terme finit par l'emporter quand L grandit : l'ordre est détruit à toute température. Sur un réseau plan, une paroi doit faire tout le tour d'un domaine ; son coût croît avec sa longueur, et l'ordre résiste jusqu'à Tc. C'est l'argument de Peierls, 1936.
Élément signature — trois agrandissements du même réseau
Voici le même système observé à trois grossissements : le réseau entier, puis son quart central, puis un carré neuf fois plus petit — chacun redessiné à la même taille. Loin de Tc, les trois vues se distinguent immédiatement : au froid le zoom vire à l'uniforme, au chaud il vire au bruit. À Tc exactement, elles deviennent indiscernables. La longueur de corrélation a divergé, aucune taille de domaine ne domine, et c'est précisément cette absence d'échelle qui autorise l'invariance conforme démontrée par Smirnov.
Ce réseau est agité par l'algorithme de Wolff, seul capable d'équilibrer un système de cette taille au point critique en quelques secondes. Laissez-lui le temps de se réorganiser après chaque changement de température.
À Tc, les frontières entre domaines convergent, quand la maille tend vers zéro, vers des courbes fractales de dimension 11/8 : les SLE de paramètre 3. La percolation critique donne les mêmes objets avec le paramètre 6. Réseau carré, triangulaire ou en nid d'abeilles : la limite ne s'en souvient pas. C'est l'universalité, et c'est ce qui fait de la physique statistique une branche de la géométrie aléatoire.