Vous pensez qu'une chose est peu probable. Un indice apparaît. Combien devez-vous, précisément, changer d'avis ? C'est la question à laquelle répond le théorème de Bayes — et c'est l'objet de cette enquête.
Une probabilité n'est jamais figée. Elle représente l'état d'une croyance à un instant donné — et elle est faite pour être mise à jour dès qu'une information nouvelle arrive.
Vous estimez à 10 % la probabilité qu'il pleuve aujourd'hui. Vous voyez ensuite votre voisin sortir avec un parapluie. Cette observation ne remplace pas votre estimation initiale : elle vient la pondérer. S'il pleut souvent quand les gens sortent un parapluie, et rarement sinon, ce petit indice doit faire remonter votre estimation — sans pour autant l'envoyer à 100 %.
Le théorème de Bayes formalise exactement ce raisonnement. Il répond à une question précise : connaissant ma croyance de départ et la fiabilité de l'indice observé, quelle doit être ma nouvelle croyance ?
Ce que l'on croit avant toute nouvelle observation — par exemple, la fréquence d'une maladie dans la population.
Le fait nouveau constaté — un test positif, un indice, un signal — dont on connaît la fiabilité.
La croyance révisée, une fois l'indice pris en compte. C'est elle que le théorème de Bayes permet de calculer.
Touchez chaque symbole pour voir ce qu'il représente dans l'exemple qui suivra : celui d'un test médical.
Touchez un symbole ci-dessus — commencez par P(A), la croyance de départ.
A = l'hypothèse à évaluer (« être malade ») · B = ce que l'on observe (« le test est positif »)
Un test médical dépiste une maladie. Ajustez sa rareté et la fiabilité du test : observez comment la probabilité d'être réellement malade évolue une fois le test positif.
Population représentée : 100 personnes, réparties selon les réglages ci-contre. Chaque point change de couleur en fonction de son état réel et du résultat de son test.
Voilà pourquoi un résultat positif à un test fiable à 90 % ne signifie pas 90 % de chances d'être malade : quand la maladie est rare, les faux positifs issus de la grande majorité de gens sains l'emportent en nombre absolu.
Une maladie touche 1 % de la population. Un test la détecte avec 90 % de fiabilité (sensibilité et spécificité). Une personne est testée positive. Quelle est, selon vous, la probabilité qu'elle soit réellement malade ?