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La strophoïde

Du grec στρόφος : ruban tordu — la courbe au nœud
Définition. Soient une droite 𝒟, un pôle O hors de 𝒟 et un point fixe A sur 𝒟. Toute droite issue de O coupe 𝒟 en K ; on porte sur cette droite, de part et d'autre de K, les deux points P₁ et P₂ tels que KP₁ = KP₂ = KA — ce sont les intersections avec le cercle de centre K passant par A. Quand la droite tourne autour du pôle, P₁ et P₂ décrivent la strophoïde de 𝒟 relativement à O et A. Si A est le projeté orthogonal de O sur 𝒟, la courbe est la strophoïde droite.
Courbe : — θ = — OK = — KA = — KP₁ = KP₂ = KA
Astuce : faites glisser le point A le long de la droite avec le curseur. Au centre (A = projeté orthogonal de O) : strophoïde droite, avec sa boucle symétrique ; ailleurs : strophoïdes obliques, dont la boucle se penche.

Ce que montre l'animation

Une droite pivote autour du pôle O et rencontre la droite fixe 𝒟 en K. Le cercle de report, centré en K et passant par A, découpe sur la droite tournante les deux points P₁ et P₂ — les barres simples marquent les trois longueurs égales KP₁ = KP₂ = KA. Le lieu de ces deux points, tracé en rouge sombre, est la strophoïde : les deux demi-tracés se raccordent et se croisent en A, qui est un point double de la courbe. La courbe passe par le pôle O, et la parallèle à 𝒟 menée à la distance OA de l'autre côté de 𝒟 est son asymptote.

En notant a = OA et θ l'angle de la droite tournante avec (OA), la strophoïde droite a pour équation polaire, le pôle étant placé au point double A :

r(θ) = − a cos 2θ / cos θ    soit, en cartésiennes :    y²(a − x) = x²(a + x)

La boucle et ses mesures

Entre le point double A et le pôle O, la strophoïde droite enferme une boucle, parcourue quand la droite tournante balaie les ±45° autour de (OA). Son aire vaut exactement (2 − π/2) a² ≈ 0,429 a², tandis que l'aire comprise entre la courbe et son asymptote vaut (2 + π/2) a² : la somme des deux fait 4a², l'aire du carré de côté 2a. Au point double A, les deux tangentes de la strophoïde droite sont les bissectrices des droites (OA) et 𝒟 : elles sont perpendiculaires entre elles. Quand on déplace A le long de 𝒟, la boucle se penche : ce sont les strophoïdes obliques.

Notes historiques et parentés

La courbe apparaît chez Torricelli vers 1645, puis chez Isaac Barrow en 1670 ; le nom de strophoïde — du grec στρόφος, le lien tordu, le ruban tourné — lui est donné au XIXe siècle, la forme de la boucle évoquant un ruban qui se croise. La strophoïde droite appartient à la même famille de cubiques circulaires rationnelles que la cissoïde de Dioclès : on peut d'ailleurs l'engendrer comme cissoïde d'un cercle et d'une droite passant par son centre, le pôle étant pris sur le cercle. Elle est aussi la podaire d'une parabole par rapport au point où la directrice coupe l'axe.

Remarque. La construction par cercle de report est générale : en remplaçant la droite 𝒟 par une courbe quelconque 𝒞, le même procédé — porter KP₁ = KP₂ = KA sur chaque sécante issue du pôle — définit la strophoïde de 𝒞. Avec un cercle et des points bien choisis, on obtient par exemple des strophoïdes de cercle, dont certaines sont des courbes de Freeth.