Probabilités
Une seule courbe sert à décrire des tailles d'hommes, des erreurs de mesure, des résultats de jeux de hasard et des rendements boursiers. Elle n'a que deux réglages : où elle est posée, et sa largeur. Les cinq planches qui suivent la construisent, la mesurent, la standardisent, la fabriquent à partir de rien — et montrent enfin la condition cachée sans laquelle elle n'apparaît pas.
μ = moyenne (où) · σ = écart-type (largeur) · l'aire totale vaut exactement 1
Déplacez μ, étirez σ : la cloche bouge et s'aplatit, mais l'aire qu'elle enferme ne change jamais.
μ ne fait que translater la courbe : la forme est rigoureusement la même à gauche ou à droite. σ fait le reste. Quand σ double, la cloche s'élargit deux fois et s'abaisse deux fois — l'aire reste 1, car une densité de probabilité n'a pas le choix.
Les deux points d'inflexion, là où la courbe cesse de creuser pour bomber, tombent exactement en μ − σ et μ + σ. C'est le seul endroit où l'on peut voir σ sur le dessin. La largeur à mi-hauteur vaut 2σ √(2 ln 2) = 2,354820 σ.
Sur une courbe de densité, une probabilité n'est pas une hauteur : c'est une aire. Choisissez les bornes.
Trois nombres à retenir, tous les autres s'en déduisent : 68,27 % des tirages tombent à moins d'un écart-type de la moyenne, 95,45 % à moins de deux, 99,73 % à moins de trois. Sortir de ± 3σ arrive une fois sur 370.
Attention au faux ami : le fameux 95 % des intervalles de confiance ne correspond pas à 2σ mais à 1,959964 σ. Et le seuil de 5 % d'un test unilatéral tombe à 1,644854 σ. Ces deux nombres n'ont rien de rond parce que la fonction qui donne l'aire, l'intégrale de la gaussienne, ne s'exprime pas avec les fonctions usuelles.
Un homme d'1,90 m, un QI de 130, un nouveau-né de 4,30 kg : lequel est le plus exceptionnel ? Tirez le curseur.
Poser z = (x − μ) / σ revient à mesurer chaque grandeur avec son propre écart-type comme unité. Les centimètres, les points de QI et les kilogrammes disparaissent ; il ne reste qu'un nombre sans dimension, et une seule courbe : N(0 ; 1), la loi normale centrée réduite.
Remarquez l'aire teintée à droite de chaque repère : elle ne bouge pas pendant l'animation. Standardiser ne change aucune probabilité, cela change seulement la règle graduée avec laquelle on lit la courbe. C'est pourquoi une seule table de valeurs a suffi aux statisticiens pendant un siècle et demi.
Chaque bille ne fait que des choix binaires. Le tas qu'elles forment, lui, n'a rien de binaire.
Une bille qui rencontre n clous tire à pile ou face n fois : le numéro de sa case suit exactement une loi binomiale. Le trait rouge dessine cette loi exacte, la courbe bleue la gaussienne de mêmes moyenne np et écart-type √(npq). Elles se superposent de plus en plus vite : c'est le théorème de De Moivre–Laplace, découvert en 1733, un siècle avant qu'on ne comprenne pourquoi.
Contrôle chiffré, pour p = 0,50 : l'écart maximal entre les deux courbes, multiplié par n3/2, converge vers 1 / (2√(2π)) = 0,199471. Déréglez les clous (p ≠ 0,50) et l'approximation devient franchement moins bonne : l'asymétrie de la binomiale ne s'efface plus qu'en 1/n.
Le théorème central limite, et la condition cachée sans laquelle il s'effondre.
En haut, la course. On tire, on tire, et on suit la moyenne courante. La loi bleue — uniforme, exponentielle, Bernoulli, peu importe — se laisse enfermer dans l'entonnoir ± 1,96 σ/√n qui se referme. La loi de Cauchy, elle, ne se range jamais : à n'importe quel moment, même après cent mille tirages, un seul tirage extrême peut renvoyer sa moyenne à l'autre bout du cadre. Comptez les sauts : ils ne se raréfient pas.
En bas, la raison. L'histogramme des moyennes standardisées de n tirages. Poussez n : la loi bleue, quelle que soit sa forme de départ, devient la cloche — c'est le théorème central limite. La loi de Cauchy reste identique à elle-même : la moyenne de n variables de Cauchy est exactement une variable de Cauchy, avec les mêmes quartiles −1 et +1, pour n = 1 comme pour n = 1000. Moyenner ne lui fait rien.
La condition cachée est là : le théorème central limite exige une variance finie. La loi de Cauchy, dont les queues décroissent en 1/x², n'a ni variance ni même de moyenne. Les phénomènes à queues lourdes — krachs, séismes, fortunes, tailles de villes — vivent de ce côté-là de la frontière, et c'est pourquoi leur appliquer la cloche coûte cher.
Toutes les valeurs affichées sont calculées en direct : l'aire par la méthode de Simpson, les probabilités par la fonction d'erreur (série à termes positifs, exacte à 10⁻¹⁶), les quantiles par l'algorithme d'Acklam raffiné par la méthode de Halley, la binomiale par récurrence exacte.