Homographie et restitution de façade

Quatre points alignés, un centre de projection, une seconde droite. Les distances changent, les rapports de distances changent, le milieu n'est plus le milieu. Une seule quantité traverse l'opération sans bouger : le birapport (AC/BC)÷(AD/BD). C'est le seul invariant numérique de la géométrie projective, et toute la restitution photographique en découle.

objetimagemilieu et son image

Pourquoi quatre points. Le birapport a besoin de quatre points pour exister : avec trois, une homographie de la droite peut envoyer n'importe quel triplet sur n'importe quel autre. C'est exactement la même arithmétique qui, sur le plan, fixe à quatre le nombre de points nécessaires pour déterminer une homographie plane — huit inconnues, deux équations par point.

Sur la photo, les horizontales du mur convergent vers un point de fuite, les verticales vers un autre — d'autant plus proche que l'appareil était basculé. La droite qui joint ces deux points est la ligne de fuite du plan de façade : l'image de sa droite à l'infini. Elle suffit déjà à mesurer : une verticale du mur porte une échelle projective que le birapport permet de graduer à partir d'une seule cote connue, ici la porte de 2,40 m.

La règle du photographe d'architecture. Tant que l'axe optique reste horizontal, les verticales du mur restent verticales sur le cliché et leur point de fuite part à l'infini. Dès qu'on bascule l'appareil vers le haut pour attraper la corniche, elles convergent — c'est le défaut que corrigent les objectifs à décentrement, et que le redressement numérique corrige après coup. Montez la hauteur de l'objectif au-dessus de 4,50 m et regardez le point de fuite vertical remonter vers le cadre.

L'homographie s'écrit X = (h₁₁x + h₁₂y + h₁₃)/(h₃₁x + h₃₂y + 1) et de même pour Y : huit coefficients, la neuvième valeur étant fixée par l'homogénéité. Chaque point de correspondance donne deux équations linéaires ; quatre points en donnent huit. Le système se résout par élimination de Gauss, et la photo se redresse pixel par pixel. Déplacez les quatre repères : quand ils sont sur les vrais angles du mur, l'image redressée est exacte.

Ce que les quatre points doivent être. Non pas quatre points quelconques, mais quatre points coplanaires, dans le plan du mur, dont on connaît les positions relatives réelles. Un angle de fenêtre en saillie, une pierre d'angle qui ressort, un balcon : tout ce qui n'est pas dans le plan fausse tout. C'est la contrainte de la méthode, et c'est aussi sa limite : elle ne restitue qu'un plan à la fois.

Une fois l'homographie connue et une seule longueur réelle donnée, tout le mur devient mesurable : chaque pixel de l'image redressée a une abscisse et une ordonnée en mètres. Le double décimètre ci-dessous se pose à la souris, et le tableau confronte cinq cotes restituées aux dimensions vraies de la façade de synthèse.

Une seule longueur suffit. L'homographie déterminée par quatre points dont on ne connaît que la forme du quadrilatère — un rectangle — redresse déjà la perspective ; il reste alors une similitude indéterminée, c'est-à-dire une échelle. Une cote réelle, un mètre déplié dans le champ, une hauteur de marche normalisée : n'importe laquelle fixe le facteur, et toutes les autres suivent.

L'élément décisif d'une restitution n'est pas la formule, c'est la propagation. On pointe les quatre repères à quelques pixels près ; l'homographie s'en trouve légèrement fausse, et l'erreur ne reste pas petite — elle est amplifiée là où l'on mesure loin du quadrilatère de référence. Trois cents tirages ci-dessous, avec un bruit de pointé gaussien, donnent la distribution réelle de la cote restituée. Changez de quadrilatère de référence et regardez la dispersion exploser.

La règle pratique. Le quadrilatère de référence doit être aussi grand que possible, et si possible englober ce qu'on veut mesurer : à l'intérieur, l'homographie interpole ; à l'extérieur, elle extrapole, et l'erreur croît vite. Pointer les quatre angles du mur avec 2 pixels d'incertitude donne le centimètre sur toute la façade ; les pointer sur une fenêtre pour en déduire la hauteur de la corniche donne le décimètre, parfois davantage. C'est pourquoi les relevés sérieux emploient plus de quatre points et résolvent au sens des moindres carrés, ce qui divise l'écart-type par la racine du nombre de points.