Une égalité entre trois aires, qui se révèle être la définition même de la distance — et un test d'angle droit assez fiable pour qu'on ait bâti des temples et des cathédrales avec.
Cinq planches animées. Toutes les valeurs affichées sont calculées dans la page, et confrontées à une seconde méthode indépendante.
Sur chacun des trois côtés d'un triangle, on construit un carré. Ouvrez ou fermez l'angle : les trois aires changent sans arrêt, et il existe exactement une ouverture pour laquelle les deux petites font la grande. Le théorème n'est pas une propriété du triangle rectangle : c'est ce qui le définit.
a² + b² − c² = 2ab · cos γ
L'aire du grand carré n'est pas obtenue par c² : elle est mesurée sur le quadrilatère réellement tracé, par la formule du lacet appliquée à ses quatre sommets. Le signe de l'écart dit tout : positif, l'angle est aigu ; négatif, il est obtus ; nul, et seulement là, il est droit. C'est la réciproque du théorème, celle dont se servent les maçons — et la formule complète, dite d'Al-Kashi, contient Pythagore comme le cas où le cosinus s'annule.
Le théorème a reçu plusieurs centaines de démonstrations. En voici trois qui ne se ressemblent pas : l'une déplace des morceaux, l'autre compte une aire de deux façons, la troisième ne parle que de proportions.
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3, 4, 5 est le plus connu, mais il y en a une infinité, et on sait tous les fabriquer. Chaque point bleu est un triangle rectangle dont les trois côtés sont des nombres entiers ; les points gris sont ses agrandissements.
a = m² − n² · b = 2mn · c = m² + n²
La tablette babylonienne Plimpton 322, gravée vers 1800 avant notre ère, aligne quinze de ces triplets, dont 119 · 120 · 169 — plus de mille ans avant Pythagore. Le procédé sert encore : la corde à treize nœuds des bâtisseurs médiévaux, tendue en 3-4-5, donne un angle droit sans instrument. Et si l'on remplace le carré par un cube, tout s'effondre : aucun triplet d'entiers ne vérifie a³ + b³ = c³, ce que Fermat a annoncé en 1637 et Wiles démontré en 1994.
Passée la salle de classe, Pythagore n'est presque jamais utilisé pour trouver un troisième côté. Il sert à mesurer une distance, à vérifier une perpendicularité, et à additionner des grandeurs qui ne se composent pas comme des nombres.
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Sur une sphère, la somme des carrés des côtés ne fait plus le carré de l'hypoténuse. Ce n'est pas une approximation grossière : c'est une autre géométrie, avec sa propre formule exacte. Le théorème de Pythagore en est la limite pour les petits triangles — et l'écart, mesuré ici, décroît selon une loi qu'on peut lire à la règle.
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Page autonome : aucune valeur n'est écrite d'avance, tout est recalculé à l'ouverture. Les triplets entiers sont vérifiés en arithmétique exacte, et les aires sont mesurées sur les figures réellement tracées.