Géométrie analytique · quatrième dimension = temps
Le tétraèdre en mouvement
Changeons la nature de la quatrième coordonnée : ce n'est plus une direction de l'espace, c'est le temps. Elle cesse d'être interchangeable avec les autres — on ne peut plus tourner dedans — et l'opération naturelle n'est plus la rotation mais la dérivation. Chaque sommet suit une ligne d'univers P(t) = P0 + v t + ½a t², et l'on demande : à quelle vitesse se déplacent G, O et le point de Monge M ? Les réponses sont très inégales — et c'est tout l'intérêt.
t = 0,00
G · centre de gravité O · centre circonscrit M · point de Monge droite d'Euler à l'instant tGlisser = tourner la vue · molette = zoomer
Pourquoi les trois points ne se ressemblent pas. G est une fonction affine des sommets : dériver la formule G = ¼(A+B+C+D) donne immédiatement vG = ¼Σvi et aG = ¼Σai — c'est le théorème du centre de masse, indépendant de toute déformation.
O, lui, est solution d'un système linéaire à coefficients variables : sa vitesse s'obtient en dérivant les équations, ce qui redonne la même matrice avec un second membre nouveau.
Et comme la matrice se dégrade lorsque le tétraèdre s'aplatit, O peut partir à l'infini en temps fini, alors que G poursuit tranquillement sa parabole.
Le point de Monge, enfin, n'a aucune vie propre : M = ½Σ − O impose vM = 2vG − vO.
Toute la cinématique de la droite d'Euler tient dans celle de son centre circonscrit.