Vingt-cinq édifices, douze variables, aucune classe connue d’avance : la classification ascendante hiérarchique fait émerger les groupes, et la dernière planche demande s’ils existent vraiment.
Le codage porte sur le parti d’origine de l’œuvre gothique (chevet et vaisseau principal), non sur l’état actuel après remaniements. Les dimensions sont les valeurs usuellement publiées, arrondies au décimètre : elles varient de quelques dizaines de centimètres selon les sources et les conventions de mesure. Rien n’est figé : la planche I permet de retirer une variable et de voir immédiatement ce que la classification lui devait. Un cas demande une précision : pour Saint-Denis, la date est celle du chevet de Suger (1140) alors que l’élévation codée est celle de la reconstruction du XIIIe siècle, seule conservée.
Tout part d’ici. Cinq variables numériques, sept variables qualitatives. Décochez-en une : toutes les planches suivantes se recalculent. C’est le premier résultat de la journée — il n’existe pas une classification, mais une par choix de variables.
Colonnes numériques : valeur centrée réduite, du clair (faible) au foncé (élevé). Colonnes qualitatives : une teinte par modalité. L’élancement h/l est décoché par défaut : il est fabriqué à partir de deux colonnes déjà présentes et compterait donc ces deux mesures une fois de plus.
Hauteurs en mètres, dates en années, matériaux en mots : rien de tout cela ne s’additionne. La distance de Gower ramène chaque variable à un écart entre 0 et 1, puis en fait la moyenne. Reste un piège : telle quelle, elle n’est pas euclidienne.
Chaque case donne l’écart entre deux édifices : foncé pour proche, clair pour lointain, d’où la diagonale noire. Rangée dans l’ordre de l’arbre, la matrice fait apparaître des blocs sombres le long de la diagonale : ce sont les classes, avant même qu’on les nomme. Gower a montré que la matrice de similarité 1 − d est semi-définie positive : c’est √d, et non d, qui plonge exactement dans un espace euclidien. Le contrôle est direct — on diagonalise la matrice doublement centrée et on regarde la masse des valeurs propres négatives. Passez d’un bouton à l’autre : elle s’annule d’un côté, pas de l’autre. Sans cela, l’identité de Huygens de la planche III serait fausse.
À chaque pas, on réunit les deux classes dont la fusion coûte le moins d’inertie inter-classes. La hauteur d’une branche est ce coût. Glissez la coupure : les grandes branches se lisent à l’œil, et l’identité de Huygens se vérifie à chaque cran.
Mêmes données, même distance, quatre façons de mesurer l’écart entre deux groupes. Le lien simple enchaîne les individus en guirlande, le lien complet fabrique des boules compactes, Ward raisonne en inertie. Aucun n’est le bon : ils répondent à des questions différentes.
La corrélation cophénétique compare les hauteurs de l’arbre aux distances de départ : elle dit quel arbre trahit le moins le tableau, pas lequel classe le mieux. L’indice de Rand ajusté vaut 1 pour deux partitions identiques et 0 pour deux partitions aussi proches que le hasard le permet.
Une CAH rend toujours un arbre, et un arbre a toujours des branches. Pour savoir si les groupes disent quelque chose, on détruit la structure sans toucher aux colonnes : chaque variable est rebattue séparément entre les vingt-cinq édifices. Les hauteurs, les dates, les matériaux restent les mêmes ; seules leurs associations disparaissent. Puis on reclasse, mille fois.
Comparez les deux arbres : celui du hasard est tout aussi net, tout aussi ramifié, et ses classes s’interpréteraient tout aussi bien si on le voulait. Seule la distribution ci-dessus sépare les deux cas.