Le produit de convolution de deux gaussiennes

Faire glisser une courbe sur l’autre, mesurer l’aire du recouvrement à chaque position : voilà toute la convolution. Quand les deux courbes sont des cloches, le résultat est une cloche — et les écarts-types s’additionnent comme les côtés d’un triangle rectangle.

(f ∗ g)(x) = ∫_ℝ f(t)·g(x − t) dt
𝒩(μ₁, σ₁²) ∗ 𝒩(μ₂, σ₂²) = 𝒩(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)

moyenne μ₁ −1,5

écart-type σ₁ 1,00

moyenne μ₂ 1,5

écart-type σ₂ 0,80

Planche I

Le glissement

En haut : la densité f reste immobile, la densité g est retournée puis décalée de x. La zone ambre est leur produit point par point ; son aire donne la valeur de la convolution. En bas : cette aire, reportée en fonction de x, dessine la courbe résultat.

position x−10,00 vitesse

f(t) = 𝒩(μ₁, σ₁²) g(x − t) retournée et décalée produit f(t)·g(x − t) (f ∗ g)(x) calculée numériquement densité 𝒩(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²) théorique

x = −10,00 aire du produit = 0,0000 valeur théorique = 0,0000 écart = 0,0000

Ce qu’il faut voir La courbe verte, obtenue par intégration numérique, se superpose exactement au pointillé théorique : la convolution de deux cloches est une cloche. Elle est centrée en μ₁+μ₂, plus large et plus basse que chacune des deux — l’aire totale reste égale à 1.

Planche II

Pourquoi la somme de deux variables ?

Si X et Y sont indépendantes, le couple (X, Y) se répartit dans le plan selon la densité produit f(x)·g(y). Tous les couples dont la somme vaut s se trouvent sur la même droite oblique x + y = s. Intégrer la densité le long de cette droite, c’est exactement calculer (f ∗ g)(s) : la densité de X + Y.

droite x + y = s0,00

couples tirés : 0 moyenne empirique de X+Y : — écart-type empirique : — théorie : —

Planche III — élément signature

Les écarts-types suivent Pythagore

L’intuition dit « les largeurs s’ajoutent » : σ₁ + σ₂. C’est faux. Ce sont les variances qui s’ajoutent, donc σ = √(σ₁² + σ₂²) — l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés σ₁ et σ₂. Déplacez les curseurs du haut : le triangle se déforme, l’écart avec la somme naïve reste visible.

σ₁ = 1,00 σ₂ = 0,80 √(σ₁²+σ₂²) = 1,28 somme naïve σ₁+σ₂ = 1,80 angle = 38,7°

Conséquence : n gaussiennes empilées

Convoluer n fois la même loi 𝒩(0, 1) donne 𝒩(0, n) : l’écart-type ne grandit qu’en √n. C’est la racine carrée du théorème central limite — et la raison pour laquelle une moyenne de n mesures est √n fois plus précise qu’une seule.

n = 4 écart-type résultant : 2,00

Planche IV

La preuve en une ligne : Fourier

La transformée de Fourier change la convolution en simple multiplication. Or la transformée d’une gaussienne est une gaussienne : |f̂(ω)| = e^(−σ₁²ω²/2). Multiplier deux exponentielles, c’est ajouter leurs exposants — d’où σ² = σ₁² + σ₂², sans calculer une seule intégrale.

f̂(ω)·ĝ(ω) = e^{−σ₁²ω²/2} · e^{−σ₂²ω²/2} = e^{−(σ₁²+σ₂²)ω²/2}

fréquence ω1,20

f̂(ω) = — ĝ(ω) = — produit = —

À retenir Plus une courbe est étroite en x, plus sa transformée est étalée en ω. Le produit dans le domaine des fréquences est toujours plus étroit que chaque facteur — ce qui correspond, du côté des abscisses, à une courbe plus large. Convoluer, c’est toujours étaler.

Les convolutions sont calculées par intégration numérique (méthode des rectangles, pas 0,05 sur [−16, 16]) et confrontées à la formule exacte.