Dans un tétraèdre orthocentrique, douze points remarquables — les centres de gravité des quatre faces, les pieds des quatre hauteurs et les quatre points d’Euler — appartiennent à une même sphère, l’analogue exact du cercle des neuf points. La démonstration ? Non plus une, mais deux homothéties qui fabriquent la même sphère.
Cette sphère fut mise en évidence au XIXe siècle dans l’étude des tétraèdres orthocentriques, notamment par Eugène Prouhet.
Pour un tétraèdre quelconque, huit des douze points subsistent (les centres de gravité des faces et les points d’Euler, construits à partir du point de Monge) ; les pieds des hauteurs, eux, exigent que les hauteurs concourent.
C’est pourquoi la figure reste ici dans la famille orthocentrique : la base BCD se déforme librement dans son plan, et A coulisse à la verticale de l’orthocentre de la base — condition qui caractérise exactement ces tétraèdres.