Les projections cartographiques

Découpez une calotte sphérique en fuseaux et posez-les à plat en conservant les longueurs le long de chaque méridien. Les fuseaux ne se rejoignent pas : il manque de la matière, et il en manque d'autant plus qu'on s'éloigne du centre. Le déficit se calcule exactement — le disque plat de rayon Rα a l'aire πR²α², la calotte n'a que 2πR²(1−cos α). Pour combler, il n'existe que deux gestes : écarter les fuseaux en étirant les parallèles, ou raccourcir les méridiens pour resserrer le tout.

Le théorème remarquable. Gauss démontre en 1827 que la courbure d'une surface est une propriété intrinsèque : deux surfaces isométriques ont la même courbure en tout point. Le plan a une courbure nulle, la sphère de rayon R une courbure 1/R² partout. Aucune application ne peut donc envoyer l'une sur l'autre en conservant toutes les longueurs — pas même sur un morceau aussi petit qu'on veut. Le cylindre et le cône, eux, ont une courbure nulle : ce sont des surfaces développables, et c'est pourquoi toute la cartographie classique passe par eux.

Nicolas-Auguste Tissot, 1881 : pour savoir ce qu'une projection fait subir au terrain, dessinez un tout petit cercle sur la sphère et regardez son image. C'est toujours une ellipse. Ses demi-axes a et b disent tout — leur produit ab est le facteur d'aire, leur rapport donne la déformation angulaire maximale ω, et la carte est conforme si et seulement si l'ellipse est un cercle partout. Ci-dessous, ce sont de vrais cercles géodésiques de 6° de rayon, projetés sans retouche.

Lire une indicatrice. Un cercle : les angles sont justes ici, la carte est conforme en ce point. Une ellipse d'aire constante sur toute la carte : la projection est équivalente, elle ment sur les formes mais jamais sur les surfaces. Une ellipse dont un axe reste égal à 1 : une direction au moins est à l'échelle — c'est ce que promettent les projections dites équidistantes, et elles ne le promettent jamais que dans une direction.

1569. Gerardus Mercator étire les latitudes exactement autant que la projection étire déjà les longitudes — d'un facteur sec φ — et obtient la seule carte où une route à cap constant est une droite. Un marin y trace un trait, lit un angle, le tient à la boussole et arrive. Le prix est écrit dans la même formule : les aires y sont multipliées par sec²φ. À gauche la carte, à droite le globe : le même trajet, vu des deux côtés.

Une carte faite pour un usage. Mercator n'a jamais prétendu représenter le monde : sa projection est un instrument de navigation, et elle est parfaite pour cela. Le reproche moderne — le Groenland aussi grand que l'Afrique — ne vise pas la projection mais son emploi hors de sa fonction, dans les atlas scolaires et les écrans de navigateur. Sur une carte du monde en Mercator, l'Antarctique devient infini : il faut la couper vers 85° de latitude, ce que fait aussi cette page.

À gauche, la déformation calculée en chaque point de la carte : la couleur monte avec le mensonge. À droite, chaque projection portée sur deux axes — mensonge sur les angles en abscisse, mensonge sur les aires en ordonnée, tous deux moyennés sur le globe à pondération d'aire. Les conformes se collent contre l'axe vertical, les équivalentes contre l'axe horizontal, les compromis flottent entre les deux. Aucune n'atteint l'origine, et c'est encore le théorème de Gauss qui l'interdit.

conformeéquivalenteéquidistantecompromis

Il n'existe pas de projection à la fois conforme et équivalente. Si ab = 1 partout et a = b partout, alors a = b = 1 partout : la carte serait une isométrie, ce que le théorème remarquable interdit. Toute la cartographie tient dans cette impossibilité — et le choix d'une projection est un choix d'usage, jamais un choix de vérité.

Prenez un pays, attrapez-le à la souris et faites-le glisser sur la carte de Mercator. Ses coordonnées géographiques sont simplement translatées, puis reprojetées : c'est donc bien le même pays, à la même taille réelle, que vous déplacez. Sa surface vraie, calculée sur la sphère, ne bouge pas d'un kilomètre carré — c'est l'affichage de la carte qui enfle et se dégonfle, d'un facteur sec²φ. Le contour en pointillé rappelle sa place d'origine.

Les chiffres qui font le débat. Groenland : 2,17 millions de km². Afrique : 30,3 millions, soit quatorze fois plus. Sur une carte de Mercator, ils occupent à peu près la même place. Ce n'est ni un complot ni une erreur : c'est sec²φ à 72° de latitude, contre 1 à l'équateur. La projection dit exactement ce qu'elle a promis de dire — les angles — et rien de ce qu'elle n'a jamais promis.