Dans tout triangle, neuf points remarquables — les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments joignant l’orthocentre aux sommets — appartiennent à un même cercle. La démonstration repose sur une seule idée : une homothétie de centre H et de rapport ½.
Le cercle des neuf points est souvent appelé cercle d’Euler, bien que sa description complète soit due à Poncelet et Brianchon (1821).
Karl Feuerbach démontra en 1822 qu’il est de plus tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits du triangle — l’un des plus beaux théorèmes de la géométrie du triangle.
Son centre ω, milieu de [OH], appartient à la droite d’Euler étudiée dans l’application précédente.