π, e, φ, √2, γ — d'où ils sortent, et à quoi ils servent
Certains nombres reviennent partout sans qu'on les ait invités. On les rencontre en mesurant un cercle, en plaçant de l'argent à la banque, en pliant une feuille, en accordant un piano, en attendant la dernière vignette d'un album. Chaque planche fabrique l'un d'eux par une mesure — jamais en le recopiant — puis montre ce qu'il permet de calculer dans la vie courante.
1 π : ce qui apparaît dès qu'il y a un tour
Archimède, vers 250 avant notre ère, enferme le cercle entre deux polygones : celui qui tient dedans et celui qui l'enveloppe. En doublant le nombre de côtés, l'étau se resserre, et il obtient l'encadrement 223/71 < π < 22/7. Le calcul de la page suit sa méthode : il n'utilise que des racines carrées et ne recopie jamais π. À droite, le même nombre obtenu par un chemin qui ne dessine aucun cercle — on jette des objets au hasard et on compte.
Le cercle pris en tenaille. En bleu le polygone inscrit, en rouge le circonscrit ; leurs demi-périmètres encadrent π.
Des aiguilles tombent sur un plancher rayé ; celles qui coupent une raie sont en rouge.
Demi-périmètre inscrit
Demi-périmètre circonscrit
Largeur de l'encadrement
π de référence3,141592653590
Même récurrence, écrite sans précaution
Archimède s'arrêtait à 96 côtés
Estimation par le hasard
Écart à π
Écart × √N
À quoi π sert vraiment
Partout où quelque chose tourne ou oscille. Un moteur à 3 000 tours par minute tourne à 100π = 314,159 radians par seconde ; le courant du secteur à 50 Hz s'écrit sin(2π·50·t) ; la cloche de Gauss, qui n'a aucun cercle en elle, porte un 1/√(2π) en facteur. La méthode de droite, elle, sert bien au-delà de π : c'est le calcul de Monte-Carlo, employé pour les réacteurs, les options financières et les images de synthèse. Son défaut se lit dans la dernière case : l'écart ne diminue que comme 1/√N. Pour gagner un chiffre, il faut cent fois plus de jets.
2 e : la constante de ce qui grandit sans à-coups
Un banquier promet 5 % par an. S'il verse les intérêts une fois l'an, 1 000 € deviennent 1 050 €. S'il les verse chaque semestre, chaque mois, chaque jour, chaque seconde, le capital monte — mais il ne monte pas à l'infini : il bute sur 1 000 × e0,05. Ce plafond, c'est e. Le même nombre gouverne tout ce qui décroît de façon continue, à commencer par la radioactivité qui date nos vestiges.
Les intérêts versés n fois par an (marches) contre la capitalisation continue (courbe).
Ce qui reste de carbone 14 dans un échantillon. Chaque palier est une demi-vie de 5 730 ans.
(1 + t/n)n sur un an
et, capitalisation continue
Écart entre les deux
Écart × n
Attendu : −et·t²/2
1 000 € au bout de 10 ans
Carbone 14 restant
Âge relu à partir de ce reste
e = 2,718281828459mesuré ici sans être recopié
Le même nombre, quatre métiers
La banque en tire le taux actuariel continu ; l'archéologie en tire la datation au carbone 14, qui remonte à environ 50 000 ans avant que le signal ne devienne trop faible ; l'électronique en tire la charge d'un condensateur, qui atteint 1 − 1/e = 63,2 % après une constante de temps ; la fiabilité en tire la loi exponentielle des pannes. Dans les quatre cas, la règle est la même : la vitesse de variation est proportionnelle à ce qui reste. C'est la seule situation qui fabrique e.
3 Les proportions : trois opérations, trois points fixes
Prenez un rectangle et pliez-le en deux : sa forme change, sauf pour une seule proportion, √2 — c'est celle de tout le papier vendu en Europe. Prenez un rectangle et retirez-en le plus grand carré : sa forme change encore, sauf pour une seule proportion, φ. Découpez enfin l'octave en parts égales : la quinte des musiciens, le rapport 3/2, n'y tombe jamais juste, mais certains découpages la manquent de très peu. Trois opérations, trois nombres qui leur résistent.
Le rectangle de départ et ce qu'il devient, opération après opération.
L'octave découpée en parts égales. Chaque barre mesure l'écart, en centièmes de demi-ton, entre la note tempérée la plus proche et l'accord juste correspondant.
Suite des proportions obtenues
Proportion après la dernière opération
Seule proportion qui résiste
Écart au point fixe
Format A4 réel : 297/2101,414285714286
Meilleure quinte du découpage
Écart à la quinte juste 3/2
Découpages qui font mieux que 12
Comma pythagoricien (3/2)¹² / 2⁷23,460 centièmes
Ce que ces proportions règlent
Le format A repose entièrement sur √2 : une feuille A0 fait exactement un mètre carré, et chaque pliage donne le format suivant sans jamais déformer la page — c'est pourquoi une photocopie A4 vers A3 s'agrandit d'un facteur √2 = 141 % sans rogner. Le rectangle d'or, lui, n'a pas cette nécessité industrielle : il est beaucoup revendiqué en architecture, souvent après coup, et une proportion mesurée ne prouve jamais une intention. Le second découpage sépare d'ailleurs nettement les proportions : partez de 13/10 ou de n'importe quelle fraction, et le retrait des carrés finit toujours par tomber sur un carré parfait, comme l'algorithme d'Euclide finit par tomber sur le PGCD ; seule une proportion irrationnelle, et φ seul parmi elles, se reproduit indéfiniment à l'identique. Le tempérament égal, enfin, est un compromis assumé : la quinte du piano est fausse de 2 centièmes de demi-ton, prix à payer pour pouvoir jouer dans les vingt-quatre tonalités avec les mêmes touches.
4 Les constantes de l'attente : γ, ln 2 et 1/e
Additionnez 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n. Cette somme grandit indéfiniment, mais très lentement, en suivant ln n — et l'écart entre les deux ne part pas à l'aventure : il se pose sur γ = 0,577215664902, la constante d'Euler, dont on ignore encore aujourd'hui si elle est irrationnelle. Cette somme donne le nombre de vignettes à acheter pour terminer un album. À droite, une autre constante d'attente : le seuil 1/e, qui dit quand cesser de regarder et commencer à choisir.
L'escalier des sommes 1 + 1/2 + … + 1/n, la courbe ln n, et l'écart entre les deux qui se stabilise.
Chances de retenir le meilleur candidat selon le nombre de candidats observés sans les prendre. Le sommet est à n/e.
Somme harmonique H(n)
ln n + γ + 1/(2n)
Écart H(n) − ln n
Vignettes à acheter : n·H(n)
Albums remplis pour de vrai
Meilleur nombre d'observations
Sa proportion, à comparer à 1/e = 0,367879
Chances de décrocher le meilleur
Recrutements simulés
Doublement du capital, valeur exacte
Règle des 72 : 72 / taux
Chapeaux rendus au hasard : aucun au bon propriétaire
Trois façons d'attendre
γ chiffre le coût des dernières vignettes : les cinq premières s'obtiennent en cinq achats, les cinq dernières en coûtent des centaines. ln 2 explique la règle que tous les banquiers connaissent : un capital double en 72/taux années, parce que le calcul exact vaut 100·ln 2 = 69,3 divisé par le taux, corrigé vers le haut pour les taux usuels. 1/e, enfin, donne la stratégie optimale quand on doit décider sans revenir en arrière — recrutement, location d'appartement, vente aux enchères : on observe 37 % du lot sans rien prendre, puis on saisit le premier qui bat tout ce qu'on a vu. On gagne alors une fois sur trois environ, quel que soit le nombre de candidats.
5 Leurs décimales ressemblent au hasard, sans en être
Chacun de ces nombres est entièrement déterminé : une formule de quelques signes suffit à produire sa millième décimale. Pourtant, quand on regarde ces décimales, on ne voit aucune structure. La page les calcule ici en arithmétique entière exacte — π par la formule de Machin, e par sa série, √2 et φ par des racines carrées entières — puis leur fait passer trois épreuves. Deux fractions se sont glissées parmi les candidats : elles doivent être démasquées.
Première épreuve : chaque chiffre doit sortir à peu près autant que les autres. Le trait marque l'effectif attendu.
Deuxième épreuve : chaque chiffre commande un pas dans l'une des dix directions. Un vrai hasard s'éloigne d'environ √N pas ; le cercle le rappelle.
Les premières décimales
Épreuve des fréquences (χ²)
Au-delà de 16,919, le hasard est douteux
Distance atteinte par la marche
Distance attendue √N
Troisième épreuve : période trouvée
Ce que l'on sait démontrer
Ce que les trois épreuves démasquent
1/7 tombe dès la première : ses décimales ne contiennent que six chiffres différents. Mais 355/113, la vieille approximation chinoise de π, passe l'épreuve des fréquences sans encombre — son χ² est même meilleur que celui de π. C'est la marche qui la trahit, en revenant sans cesse à son point de départ, et le détecteur de période qui la confond, en retrouvant sa longueur de cycle. Aucun test ne trouve rien sur π, e, √2 ni φ. Et c'est bien là le point : leur irrationalité est démontrée depuis longtemps, la transcendance de π et de e aussi, mais que leurs chiffres soient équirépartis reste une conjecture. Personne n'a jamais démontré que le chiffre 7 apparaît un dixième du temps dans π.