Cours de Mathématiques — statistique inférentielle
Les tests d'hypothèses
Décider entre deux explications d'un même jeu de données, en sachant exactement quel risque on prend. De la vraisemblance au rapport de vraisemblance, du lemme de Neyman–Pearson aux quatre tests que l'on rencontre partout — et pour finir, ce que la p-valeur ne dit pas.
Planche 1 Deux hypothèses, deux erreurs
On mesure une moyenne. Sous H₀ elle vaut μ₀ = 0 ; sous H₁ elle vaut μ₁ = δ. Comme on ne dispose que de n observations, la moyenne empirique fluctue : les deux hypothèses produisent deux courbes qui se chevauchent. Placer un seuil, c'est choisir laquelle des deux erreurs on accepte de payer.
Ce que montre la plancheLes deux risques ne se réduisent pas ensemble. Baisser α déplace le seuil vers la droite et gonfle β ; la seule façon de les diminuer tous les deux est d'augmenter n, qui resserre les deux cloches à la fois. C'est l'asymétrie fondatrice : on fixe α, puis on maximise la puissance.
Planche 2 La vraisemblance
Les données sont acquises, une fois pour toutes. Ce qui varie, c'est le paramètre θ que l'on essaie. La vraisemblance L(x | θ) mesure à quel point une valeur de θ rend crédible ce qu'on a effectivement observé — et non la probabilité que θ soit vrai.
L(x | θ) = f(x₁ | θ) × f(x₂ | θ) × … × f(xn | θ)chaque trait vertical du haut est un facteur du produit
Le contrôleLe maximum de la courbe du bas est cherché à l'aveugle, par section dorée puis raffinement parabolique, sans jamais utiliser de formule. Il tombe sur la moyenne empirique à 10⁻¹⁵ près : dans le modèle gaussien, l'estimateur du maximum de vraisemblance est la moyenne. La courbure au sommet, elle, retrouve l'information de Fisher n/σ² — plus elle est forte, plus le sommet est étroit, plus l'estimation est précise.
Planche 3 Le rapport de vraisemblance et le lemme de Neyman–Pearson
Le même échantillon qu'à la planche 2, jugé cette fois par deux hypothèses précises. Le rapport Λ = L(θ₁)/L(θ₀) dit combien de fois les données sont plus crédibles sous l'une que sous l'autre. Neyman et Pearson ont démontré en 1933 qu'à niveau α fixé, aucun test ne fait mieux que « rejeter quand Λ dépasse un seuil ».
ln Λ = (n/σ²) · (θ₁ − θ₀) · ( x̄ − (θ₀+θ₁)/2 )« Λ > k » se ramène donc à « x̄ > seuil » : le test optimal est le test usuel
La courbe ROCÀ droite, la puissance en fonction de α. La courbe pleine est celle du test du rapport de vraisemblance ; les marches sont celles du test du signe, qui ne regarde que le nombre d'observations au-dessus de θ₀ et jette le reste de l'information. Aucune marche ne dépasse jamais la courbe — c'est exactement le contenu du lemme, vérifié ici point par point.
Planche 4 Les grands tests, un par un
Cinq situations classiques. Le schéma ne change jamais : une statistique calculée sur les données, une loi connue sous H₀, une région de rejet découpée dans cette loi. Seule la statistique change de nom.
Note—
Signature Ce que la p-valeur ne dit pas
Un test correct, appliqué correctement, peut produire des conclusions massivement fausses — non parce que la théorie est en défaut, mais parce qu'on lui fait dire ce qu'elle ne dit pas. Trois expériences, chacune menée pour de vrai, des milliers de fois, sous vos yeux.
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Toutes les lois (normale, Student, χ², Fisher, Kolmogorov, binomiale) sont calculées ici même par séries et fractions continues, sans table ni bibliothèque ; les valeurs critiques sont obtenues par dichotomie sur la fonction de répartition et confrontées aux tables imprimées. Les intégrales de contrôle sont faites par la méthode de Simpson.