On raconte souvent que les nombres complexes ont été inventés pour résoudre x² + 1 = 0. C’est faux : devant cette équation, les algébristes se contentaient de dire qu’elle n’avait pas de solution. Ils ont été contraints aux imaginaires par les équations du troisième degré, où la formule de Cardan traverse les racines de nombres négatifs pour retomber sur trois solutions parfaitement réelles. Ces cinq planches suivent ce fil : d’abord un plan où le produit devient une rotation, puis l’équation qui a tout déclenché, ensuite le travail que ces nombres font pour nous en trigonométrie et en électricité, enfin la raison profonde pour laquelle on n’a plus jamais eu besoin d’en inventer d’autres.
Un nombre complexe z = a + ib est un point du plan. L’addition y translate, mais c’est la multiplication qui donne au plan sa géométrie : multiplier par z₂ fait tourner de arg z₂ et agrandir de |z₂|. Déplacez les deux points à la souris ; le triangle gris (O, 1, z₂) et le triangle bleu (O, z₁, z₁z₂) restent semblables, c’est toute la définition du produit.
Le produit additionne les arguments et multiplie les modules. C’est pourquoi i² = −1 n’a rien de mystérieux : i est le quart de tour, et deux quarts de tour font le demi-tour, c’est-à-dire la multiplication par −1. Appuyez sur « Multiplier par i » quatre fois de suite pour le voir.
Puisque multiplier fait tourner et agrandir, l’application z ↦ az + b est exactement la similitude directe du plan : elle conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par le même facteur |a|. À droite, la question inverse : quels nombres élevés à la puissance n redonnent 1 ? La réponse est un polygone régulier, et sa symétrie impose que la somme des sommets soit nulle.
Toute similitude directe du plan s’écrit avec un seul nombre complexe. Et tout nombre non nul possède exactement n racines n-ièmes, régulièrement réparties sur un cercle : la division de l’argument par n laisse n choix, un par tour supplémentaire. Leur somme est nulle parce qu’un polygone régulier a son centre de gravité au centre.
Voici le vrai acte de naissance. L’équation x³ = 15x + 4 a trois racines réelles, dont 4 qui se voit à l’œil nu. Mais la formule de Cardan, seule méthode générale connue, exige de calculer √(4 − 125) = √(−121). Bombelli a osé poursuivre le calcul avec ce symbole interdit — et il est retombé sur 4. On ne pouvait plus le rejeter : l’imaginaire servait à trouver du réel.
Quand le discriminant d’une cubique est positif — donc quand les trois racines sont réelles — la formule de Cardan passe obligatoirement par les imaginaires. C’est le casus irreducibilis : on a démontré depuis qu’aucun détour par les seuls réels n’est possible. Les nombres complexes ne sont donc pas un confort de notation, ils sont un passage obligé.
Passé le stade de la curiosité, les complexes sont devenus des machines à supprimer du travail. Trois exemples où un calcul pénible en réels devient une simple opération dans le plan : les identités trigonométriques deviennent du binôme de Newton, une équation différentielle de circuit devient une division, et l’addition de dizaines de sinusoïdes devient une addition de vecteurs.
La formule de Moivre dit que (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ. On développe le membre de gauche par le binôme de Newton, on identifie les parties réelles, et l’identité trigonométrique tombe toute seule.
Aucune de ces identités n’a besoin d’être mémorisée : elles se retrouvent en trente secondes par le binôme. Les coefficients obtenus sont ceux des polynômes de Tchebychev, et l’opération inverse — la linéarisation — transforme un produit de cosinus en somme, ce qui est précisément ce qu’on demande avant d’intégrer.
Un circuit R, L, C en série obéit à L·i′ + R·i + (1/C)∫i = u. En régime sinusoïdal établi on remplace u par Ueiωt ; dériver devient multiplier par iω, et l’équation différentielle se réduit à une division par l’impédance Z = R + i(Lω − 1/Cω).
Le contrôle vaut la peine d’être regardé : on intègre l’équation différentielle réelle au pas à pas (Runge–Kutta d’ordre 4), en partant du repos, pendant quarante périodes, puis on compare les dernières oscillations à ce qu’annonce une seule division complexe. L’écart tombe au niveau de l’erreur d’intégration, de l’ordre de 10−10. Toute l’électrotechnique repose sur ce raccourci.
Additionner N sinusoïdes de même fréquence mais de phases différentes, c’est additionner N vecteurs. Mis bout à bout, ils s’enroulent sur un cercle et la résultante se lit comme une corde : c’est le calcul du réseau de diffraction, qui donne l’amplitude sin(Nφ/2)/sin(φ/2) sans une seule ligne de trigonométrie.
Quand φ est un multiple de 2π, tous les vecteurs pointent dans la même direction et l’amplitude vaut N : ce sont les maxima principaux du réseau. Entre deux maxima, le polygone se referme exactement N−1 fois, ce qui donne les N−1 zéros. La géométrie remplace ici tout un chapitre de calcul.
Reste la question de fond : en ajoutant i, a-t-on ouvert une boîte sans fond ? Faudra-t-il inventer d’autres nombres pour résoudre z⁵ − 3z² + 1 = 0 ? Non, et c’est le théorème de d’Alembert–Gauss. Sa plus belle démonstration ne calcule rien : elle compte des tours. Trois volets pour la voir, la colorier, et surprendre les racines en train de quitter la droite réelle.
Pour R très petit, l’image est un petit lacet autour de P(0) qui ne fait aucun tour autour de l’origine. Pour R grand, le terme zn écrase les autres et l’image fait exactement n tours. Un nombre de tours ne peut pas sauter de 0 à n continûment sans que le lacet traverse l’origine : il existe donc un z tel que P(z) = 0.
Chaque point du plan reçoit la couleur de l’argument de son image, et s’éclaircit quand le module franchit une puissance de 2. Un zéro double, comme celui en z = 1 de la dernière fonction, fait défiler la roue des couleurs deux fois quand on tourne une fois autour de lui : la multiplicité se compte à l’œil.
On fait glisser le terme constant de z³ − 3z + c. Tant que c < 2, la courbe coupe trois fois l’axe. En c = 2 deux racines se rejoignent en z = 1, et au-delà elles décollent à la verticale, devenues conjuguées. La courbe réelle ne montre plus qu’une intersection : les deux autres solutions n’ont pas disparu, elles ont quitté la droite.
Le corps des complexes est algébriquement clos : tout polynôme de degré n à coefficients complexes y possède exactement n racines, multiplicités comprises. En ajoutant une seule racine à une seule équation, x² + 1 = 0, on les a toutes obtenues d’un coup. C’est pour cette raison qu’après i on n’a plus jamais eu à inventer de nombre pour résoudre une équation polynomiale — les quaternions de Hamilton, eux, répondront à une tout autre question, celle des rotations de l’espace.
Et le décollage vertical du troisième volet n’est pas un accident : au voisinage d’une racine double, l’écart des deux racines varie comme la racine carrée du paramètre. C’est la raison pour laquelle une racine double est numériquement si instable — une erreur de 10−16 sur un coefficient déplace les racines de 10−8.