La restriction cristallographique

Soient A et B deux nœuds du réseau à la distance minimale d. Si le réseau admet une rotation d'ordre n, elle s'applique autour de chacun de ses nœuds. Faites tourner B autour de A d'un angle θ = 2π/n, et A autour de B de −θ : les images A′ et B′ sont encore des nœuds. Le vecteur A′B′ est parallèle à AB et mesure d·|2cos θ − 1| : c'est donc un multiple entier de d, ou bien il est nul. Toute autre valeur contredit la minimalité de d.

AB, plus court vecteurrotationsA′B′ admissibleA′B′ interdit

Une preuve en une ligne. A′B′ est un vecteur du réseau parallèle au plus court ; il vaut donc k·d avec k entier. Comme il mesure d·|2cos θ − 1|, on obtient 2cos θ − 1 ∈ ℤ, donc 2cos θ ∈ ℤ, donc 2cos θ ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} puisque le cosinus est borné.
Les cinq angles correspondants sont 180°, 120°, 90°, 60° et 0° : les ordres 2, 3, 4, 6 et 1.

Deuxième preuve, plus brutale et plus parlante. Si une rotation d'ordre n préserve le réseau, alors toutes les images d'un vecteur v par cette rotation sont des vecteurs du réseau, et toutes leurs sommes entières aussi. Additionnez-les de proche en proche : pour n = 3, 4 ou 6, l'ensemble obtenu reste un réseau et sa distance minimale ne bouge pas. Pour n = 5, 7, 8, 12, il devient dense — la distance minimale s'effondre géométriquement, et un réseau ne peut pas être dense.

Pourquoi le nombre d'or apparaît. Pour n = 5, les longueurs successivement atteintes sont exactement les puissances de 1/φ — 0,618, puis 0,382, puis 0,236, puis 0,146 — car les sommes de racines cinquièmes de l'unité vivent dans l'anneau ℤ[φ], où les unités sont précisément les puissances du nombre d'or. Elles tendent vers zéro sans jamais l'atteindre. C'est la même quantité qui gouvernera, à la dernière planche, la structure des quasi-cristaux — le nombre d'or n'y est pas décoratif, il est la conséquence arithmétique de l'ordre 5.

Troisième preuve, la plus courte de toutes. Exprimez la rotation dans la base du réseau plutôt qu'en coordonnées cartésiennes : puisqu'elle envoie chaque nœud sur un nœud, sa matrice y est à coefficients entiers. Or la trace ne dépend pas de la base choisie, et vaut 2cos θ dans la base orthonormée. Donc 2cos θ est un entier. La démonstration tient en deux phrases et ne fait appel à aucune figure.

Ce que la trace ne dit pas. Une trace entière est nécessaire mais ne suffit pas à assurer que la matrice tout entière le soit : il faut encore que le réseau soit compatible avec l'ordre. Le réseau carré accepte l'ordre 4 mais pas l'ordre 3 ; l'hexagonal accepte 3 et 6 mais pas 4. Faites varier la forme du réseau au-dessus : la matrice ne devient entière que pour les couples qui existent réellement.

Prenons le problème par l'autre bout : énumérons toutes les matrices 2 × 2 à coefficients entiers, de déterminant 1, qui sont d'ordre fini. Il n'y en a que cinq classes, de traces 2, 1, 0, −1 et −2 — soit les ordres 1, 6, 4, 3 et 2. En dimension quelconque, la même question a une réponse d'une élégance rare : l'ordre n est possible si et seulement si φ(n) ≤ d, où φ est l'indicatrice d'Euler. C'est pourquoi l'ordre 5 reste interdit en dimension 3 — et devient permis dès la dimension 4.

D'où sort l'indicatrice d'Euler. Une rotation d'ordre n a pour valeurs propres des racines primitives n-ièmes de l'unité. Si sa matrice est entière, son polynôme caractéristique est à coefficients entiers et divisible par le polynôme cyclotomique Φ_n, dont le degré est φ(n). Il faut donc que φ(n) ≤ d. En dimension 2 : φ(n) ≤ 2 donne n ∈ {1, 2, 3, 4, 6}. En dimension 4 : φ(n) ≤ 4 autorise en plus 5, 8, 10 et 12.

L'élément décisif. Le théorème suppose une chose et une seule : que le motif soit périodique. Abandonnez cette hypothèse et l'ordre 5 redevient possible. La construction ci-dessous le montre en acte : on prend le réseau cubique de dimension 5 — où l'ordre 5 est parfaitement légal — on ne garde que les points d'une tranche mince, et on les projette sur le plan. Le semis obtenu n'a aucune période, possède une symétrie d'ordre 5 exacte, et sa figure de diffraction est faite de pics aussi nets que ceux d'un cristal. C'est ce qu'a photographié Dan Shechtman le 8 avril 1982.

points du quasi-cristalpics de diffraction

Ce qu'il en a coûté. Shechtman observe une diffraction d'ordre 10 dans un alliage d'aluminium et de manganèse ; la figure est nette, donc l'ordre est parfait, donc — selon tout ce qu'on enseignait — impossible. Il lui faut deux ans pour publier, on lui demande de quitter son groupe de recherche, et Linus Pauling déclare publiquement qu'il n'existe pas de quasi-cristaux mais seulement des quasi-scientifiques. L'Union internationale de cristallographie redéfinit le mot cristal en 1992 pour y inclure ces structures, et Shechtman reçoit le prix Nobel de chimie en 2011. Le théorème, lui, n'a jamais été faux : c'est son hypothèse qui ne s'appliquait pas.