On ne démontre plus un théorème sur un triangle : on tire une figure au sort et on demande à quoi ressemble la forme typique. Cinq ateliers, du semis de points à la surface quantique.
Le hasard le plus pur qu'on puisse jeter dans le plan
Tout commence par un nuage de points sans mémoire : la position de chacun est indépendante des autres, et le nombre de points tombant dans une région d'aire a suit une loi de Poisson de paramètre λa. Aucune répulsion, aucune attraction — d'où les amas et les vides qui frappent l'œil et que le regard interprète à tort comme une structure.
Barres : effectifs observés. Trait rouge : loi de Poisson de même moyenne. Signature du hasard pur : variance = moyenne.
Chaque point s'attribue son territoire — et le pavage se reforme sans cesse
À chaque point on associe la région des lieux qui en sont plus proches que de tout autre. Les frontières sont des morceaux de médiatrices ; le pavage obtenu découpe le plan en cellules convexes. Deux résultats exacts, indépendants de λ : l'aire moyenne d'une cellule vaut 1/λ, et son nombre moyen de côtés vaut exactement 6. La moyenne est rigide, la forme individuelle ne l'est pas du tout.
Cliquez dans le pavage pour ajouter un germe. Les cellules touchant le bord sont tramées et exclues des statistiques.
Un café passe, ou ne passe pas : la géométrie change d'état
Chaque case du réseau est ouverte avec probabilité p, indépendamment. Les cases ouvertes voisines forment des amas. Le tirage est ici couplé : chaque case porte un seuil fixe tiré une fois pour toutes, et augmenter p ne fait qu'ouvrir de nouvelles cases — on voit donc les amas croître et fusionner de façon monotone. Autour de pc ≈ 0,5927, un amas traversant apparaît brutalement : c'est une transition de phase géométrique.
Courbe : taille relative du plus grand amas en fonction de p pour ce tirage. Amas traversant en rouge, autres amas en teintes pâles.
Élément signature — la marche vers la netteté
Sur un réseau fini, la traversée n'a jamais lieu à un p précis : elle a lieu avec une certaine probabilité θL(p). Pour chaque tirage on peut calculer exactement le seuil p* auquel la traversée s'ouvre, en allumant les cases par ordre croissant de leur étiquette. On accumule ces seuils : leur histogramme se resserre, et θL tend vers une marche d'escalier posée sur pc. Le seuil critique n'est pas décrété, il émerge de la taille.
L = 8, 16, 32, 64. Trait vertical pointillé : la valeur critique connue 0,5927. L'écart-type décroît comme L−1/ν avec ν = 4/3, exposant démontré pour la percolation plane.
Du champ libre gaussien à la mesure de Liouville
Le versant continu de la discipline ne tire plus des points mais des surfaces. Le champ libre gaussien est le brouillon universel : une somme de modes propres sin(mπx)sin(nπy) affectés de coefficients gaussiens indépendants d'écart-type 1/√(m²+n²). Trop irrégulier pour être une fonction, il définit pourtant une mesure d'aire, eγh — la mesure de Liouville, limite d'échelle des cartes planaires aléatoires. Quand γ croît, l'aire se concentre sur un ensemble fractal de plus en plus maigre.
Champ h : bleu en creux, rouge en crête.
Mesure d'aire eγh : le noir porte la masse.
La dimension affichée, 2 − γ²/2, est celle du support typique de la mesure ; elle s'annule en γ = 2, borne au-delà de laquelle la construction dégénère.
Comme la gaussienne surgit de n'importe quelle somme de variables indépendantes, les objets limites de la géométrie aléatoire ne gardent aucune trace du modèle discret dont ils viennent. Triangulations ou quadrangulations donnent la même carte brownienne ; percolation par sites, par liens ou modèle d'Ising donnent les mêmes interfaces, décrites par les courbes SLE de Schramm. Le détail du maillage s'efface, la géométrie survit.
Wendelin Werner (2006), Stanislav Smirnov (2010) et Hugo Duminil-Copin (2022) ont reçu la médaille Fields pour ce domaine ; Jean-François Le Gall a construit la carte brownienne, surface aléatoire de dimension fractale 4. Les applications concrètes, elles, relèvent surtout de la géométrie stochastique : réseaux d'antennes, mousses et alliages, répartition des galaxies, zones de chalandise.