Cahier de géométrie · cartographie
Comment poser la Terre à plat sans changer une seule aire
Une sphère ne se déplie pas. Toute carte du monde est donc un compromis : on décide de ce que l’on garde et de ce que l’on sacrifie. La projection Equal Earth, publiée en 2018 par Bojan Šavrič, Tom Patterson et Bernhard Jenny, fait un choix net : elle conserve les aires exactement, et achète cette exactitude en déformant les formes.
Les cinq planches qui suivent démontent le mécanisme. La première montre le marché conclu, la deuxième écrit la recette, la troisième mesure le prix payé en chaque point, la quatrième compare Equal Earth à ses concurrentes, la cinquième laisse manipuler les quatre nombres qui lui donnent sa silhouette.
Choisissez un quadrilatère sur le globe — deux méridiens, deux parallèles. À gauche il est posé sur la sphère, vu de face. À droite, son image sur la carte Equal Earth. Promenez-le du nord au sud : il s’étire, il se penche, il change complètement de forme. Son aire, elle, ne bouge pas d’un millionième.
Deux mesures indépendantes de l’aire sur la carte : une intégration de Simpson sur la formule de la projection, et un calcul au lacet sur le polygone réellement tracé (480 sommets). La première tombe sur l’aire sphérique à quelques 10⁻¹⁵ près ; la seconde garde l’erreur de la discrétisation du contour, en 1/n².
Equal Earth appartient à la famille des projections pseudo-cylindriques : les parallèles restent des segments horizontaux, le méridien central reste vertical. Deux fonctions suffisent à la décrire — y(φ), la hauteur du parallèle, et g(φ), sa demi-largeur par radian de longitude.
Le marché est là, tout entier. Si l’on veut que ce facteur vaille 1 partout, on peut choisir y(φ) comme on veut : la largeur g est alors forcée, égale à cos φ / y′(φ). Chaque fois que la carte écarte deux parallèles, elle doit rétrécir d’autant le parallèle. Le graphique de droite superpose les deux facteurs et leur produit : le produit se pose exactement sur cos φ.
Equal Earth n’attaque pas y(φ) directement. Elle passe par une latitude auxiliaire θ définie par sin θ = (√3/2)·sin φ — la même que celle du modèle de Hammer —, puis pose un polynôme impair de degré 9 :
Le dénominateur de x n’est rien d’autre que dy/dθ. C’est la traduction littérale de la règle précédente : la largeur est l’inverse de l’écartement, à cos φ près. Les quatre coefficients publiés sont A₁ = 1,340264, A₂ = −0,081106, A₃ = 0,000893, A₄ = 0,003796.
Le contrôle affiché, g·y′ − cos φ, ne tombe pas à zéro par hasard : le calcul symbolique donne exactement (2√3·cos θ / 3f′)·(f′·√3·cos φ / 2cos θ) = cos φ, les f′ et les cos θ se simplifiant tous. Ce qui reste à l’écran est le bruit d’arrondi de la double précision.
En chaque point, la carte transforme un petit cercle tracé sur le globe en une ellipse. Ses deux demi-axes a et b disent tout : leur produit est le facteur d’aire, leur rapport la déformation des formes. Sur une carte équivalente le produit vaut 1 partout — et c’est bien le rapport qui encaisse.
L’angle ω est la déformation angulaire maximale : le plus grand écart qu’un angle du terrain puisse subir sur la carte. Il se lit sur les demi-axes par sin(ω/2) = (a − b)/(a + b). Sur la sinusoïdale, le témoin posé sur le méridien central donne ω = 0 exactement : la carte y est localement fidèle. Écartez-le, et le cisaillement s’installe.
Toutes les projections de cet onglet, sauf Mercator, conservent les aires exactement. Elles se distinguent par la répartition de la déformation angulaire. Basculez le mode de coloriage : en « déformation d’aire », les cinq premières deviennent uniformément blanches et Mercator s’embrase ; en « déformation angulaire », c’est l’inverse. Aucune carte n’est blanche dans les deux modes — c’est le théorème de Gauss qui l’interdit.
Les taches ne sont pas des continents mais des disques d’aire exacte : chacun couvre sur le globe la superficie réelle du territoire nommé. Sur les cinq cartes équivalentes, le rapport des aires mesurées au lacet entre le disque « Afrique » et le disque « Groenland » redonne 14,02, la valeur réelle. Sur Mercator il tombe à 1,30 : le Groenland y paraît presque aussi grand que l’Afrique, alors qu’il en fait le quatorzième.
Voici la planche à démonter. Les quatre coefficients du polynôme sont libres : tirez-les où vous voulez. La carte change de silhouette, le rapport pôle/équateur bouge, la déformation moyenne monte ou descend — mais le facteur d’aire reste rivé à 1, parce que la largeur se recalcule toute seule à partir de la courbe. L’équivalence est gratuite ; c’est l’allure qui se paye.
La descente par coordonnées trouve, pour le critère « déformation angulaire moyenne pondérée par l’aire », un jeu de coefficients qui descend vers 25,6° — nettement au-dessous des 29,1° d’Equal Earth. Mais sa ligne des pôles atteint 0,79 fois l’équateur : la carte devient trapue, presque cylindrique. Les auteurs d’Equal Earth ne cherchaient pas ce minimum. Ils cherchaient une silhouette proche de celle, familière, de la projection de Robinson, tout en étant rigoureusement équivalente. Le polynôme n’est pas un optimum, c’est un dessin.