Ce que la base dix nous cache, et ce qu'elle nous fait croire nécessaire.
Nous écrivons les nombres avec dix chiffres parce que nous avons dix doigts. Rien d'autre. Toutes les règles que l'école présente comme des propriétés des nombres — la position, les divisions successives, le critère de neuf, les décimales qui s'arrêtent ou qui bouclent — sont en réalité des propriétés du dix. Cette page les démonte une à une, en laissant la base se régler au curseur, et vérifie chaque affirmation par le calcul.
Un nombre, c'est d'abord une quantité d'unités. Écrire ce nombre, c'est choisir une taille de paquet et empaqueter.
Le chiffre d'un rang, c'est le nombre de paquets de cette taille. Un chiffre ne peut jamais atteindre la base : s'il y avait b paquets, ils formeraient eux-mêmes un paquet du rang supérieur. C'est pourquoi la base dix demande exactement dix symboles, ni plus ni moins — et pourquoi la base seize doit en inventer six.
Les divisions successives ne sont pas une méthode « pour les autres bases ». C'est celle qui fabrique déjà vos chiffres décimaux, sans que vous la voyiez.
Chaque reste est un chiffre, et les chiffres sortent à l'envers : le dernier trouvé est celui de gauche. Divisez par dix au lieu de diviser par sept, et vous retrouvez trait pour trait l'écriture familière. La base dix n'a pas d'algorithme privilégié : elle a le même, appliqué à dix.
Un compteur de kilomètres est une machine à base dix. Changez la base et le mécanisme est identique : seule change la fréquence des retenues.
Et voici le prix à payer : plus la base est petite, plus l'écriture est longue.
La formule ⌊log N ⁄ log b⌋ + 1 est juste en mathématiques et fausse en machine : sur les 380 000 cas balayés, elle échoue deux fois, et l'un des deux échecs est mille en base dix, où le quotient calculé vaut 2,9999999999999996 au lieu de 3. Une base ne se choisit pas seulement pour ses vertus théoriques.
Pour les entiers, changer de base ne change rien d'essentiel. Pour les fractions, tout change : un nombre à écriture finie dans une base est illimité dans une autre.
La règle est sans exception : l'écriture de 1/n est finie dans la base b si et seulement si tout facteur premier de n divise b. La base dix ne sait finir que sur les dénominateurs faits de deux et de cinq — d'où le tiers illimité qui a fait tant de mal aux écoliers, et qui s'écrit tout simplement 0,1 en base trois. La roue de droite montre pourquoi ça boucle : les restes possibles sont en nombre fini, donc l'un d'eux revient forcément, et à partir de là tout se répète.
Une base n'est pas un habillage neutre. Elle décide de ce qui est exact, de ce qui coûte cher, et de quels nombres ont un critère de divisibilité simple.
Un ordinateur compte en base deux, où deux est le seul facteur premier disponible : un dixième y est donc illimité, exactement comme un tiers chez nous. La machine range à la place le nombre binaire le plus proche, dont on lit ci-dessus les décimales exactes. 0,1 + 0,2 ≠ 0,3 n'est pas un défaut de l'ordinateur : c'est notre base dix qui ne rentre pas dans la sienne.
Si l'on paie à la fois les symboles à retenir (b) et la longueur de l'écriture (log N ⁄ log b), le coût vaut b ⁄ ln b : il est minimal en b = e ≈ 2,718, donc la base entière la plus économique est trois, devant deux et quatre qui coûtent rigoureusement autant l'une que l'autre. La base dix arrive loin derrière. Noter au passage que le creux est plat : cherché comme minimum, il ne se cerne qu'à 10⁻⁸, alors que cherché comme zéro de la dérivée, ln b = 1, il tombe à 10⁻¹⁶ près.
Le critère de neuf n'est pas une propriété du neuf : c'est une propriété de b − 1, parce que b ≡ 1 modulo b − 1, donc chaque puissance de la base vaut 1 et le nombre se réduit à la somme de ses chiffres. De même la somme alternée teste b + 1, et le dernier chiffre teste les diviseurs de b. En base sept, la somme des chiffres teste six ; en base seize, elle teste quinze ; en base deux, elle ne teste plus rien, mais la somme alternée des bits teste trois.