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La transformée de Fourier ou l’art d’écouter les fréquences

Toute forme d’onde, si anguleuse soit-elle, est une somme de sinusoïdes. Fourier donne la recette : multiplier le signal par une sinusoïde d’essai, intégrer, et lire le résultat. Ce qui reste, c’est le poids de cette fréquence.

f̂(ω) = ∫ℝ f(t)·e−iωt dt
cas périodique : f(t) = a₀ + Σn≥1 [ aₙ cos(nt) + bₙ sin(nt) ]
Signal étudié

Planche I

La reconstruction, harmonique par harmonique

La somme partielle SN n’utilise que les N premières fréquences. Une seule sinusoïde donne une vague grossière ; à N = 20 la forme est déjà là ; à N = 60 seuls les angles résistent encore.

1
signal exact somme partielle SN harmonique n = N seule spectre : amplitude de chaque fréquence
N = 1 amplitude de l’harmonique N : — maximum de SN : — dépassement : —
Le phénomène de Gibbs Sur un signal discontinu, la somme partielle dépasse toujours la marche d’environ 8,95 % de sa hauteur, juste avant le saut. Augmenter N rétrécit l’oreille mais ne réduit pas sa hauteur : elle se déplace vers la discontinuité sans jamais disparaître. Sur le triangle ou le sinus redressé, tous deux continus, le dépassement s’efface.

Planche II — élément signature

La machine à cercles

Chaque harmonique est un cercle : rayon = son amplitude, vitesse de rotation = son rang n. On les accroche bout à bout, et la hauteur de la pointe, relevée au fil du temps, dessine le signal. Une série de Fourier n’est rien d’autre que cet engrenage.

6
rayon du plus grand cercle : — somme des rayons : — hauteur de la pointe : —

Planche III

Le détecteur de fréquence

Comment un coefficient se calcule : on multiplie le signal par une sinusoïde d’essai de fréquence ν, et on regarde l’aire obtenue. Si ν ne correspond à rien, les lobes positifs et négatifs s’annulent et l’aire est nulle. Si ν tombe sur une fréquence présente, le produit reste majoritairement d’un seul signe et l’aire se détache. C’est exactement l’intégrale de Fourier.

1,00
signal f(t) sinusoïde d’essai produit f(t)·sin(νt) score obtenu, en fonction de ν
ν = 1,00 score = — coefficient exact pour l’entier voisin : —

Planche IV

Étroit d’un côté, large de l’autre

Un signal bref contient beaucoup de fréquences ; un signal étalé n’en contient que quelques-unes. Resserrez la courbe de gauche : celle de droite s’ouvre aussitôt. Le produit des deux largeurs reste constant — c’est le principe d’incertitude, celui d’Heisenberg comme celui des télécommunications.

1,00
largeur en temps : — largeur en fréquence : — produit : —
Le cas particulier de la gaussienne La transformée d’une gaussienne d’écart σ est une gaussienne d’écart 1/σ : la seule forme qui reste elle-même en changeant de domaine, et celle qui atteint l’égalité dans le principe d’incertitude. C’est aussi pourquoi convoluer deux gaussiennes redonne une gaussienne — multiplier deux exponentielles revient à additionner leurs exposants.

Les coefficients des quatre signaux périodiques sont donnés par leurs formules exactes ; les scores de la planche III sont intégrés numériquement sur une période.