La mesure du méridien et la naissance du mètre

On ne mesure au ruban qu'une seule longueur, la base : quelques kilomètres de terrain plat, arpentés avec des règles de platine posées bout à bout. Tout le reste s'obtient par des angles, à la lunette, de clocher en clocher. Chaque triangle transmet au suivant un côté connu, et le pays entier finit par être cousu par la loi des sinus. La question est de savoir ce que devient l'erreur au long de cette couture.

chaîne vraiechaîne reconstruite avec bruitbase mesurée

Le cercle répétiteur de Borda. L'instrument qui rend l'affaire possible n'est pas un théodolite ordinaire : il permet de cumuler la même mesure d'angle plusieurs dizaines de fois sur le limbe avant d'en faire une seule lecture, si bien que l'erreur de graduation se divise par le nombre de répétitions. Delambre annonce couramment une seconde d'arc. Les deux bases, à Melun et près de Perpignan, furent mesurées avec des règles bimétalliques platine-cuivre dont l'écartement des deux lames servait de thermomètre.

Sur une sphère, un degré de latitude vaut partout la même longueur. Sur une Terre aplatie aux pôles, non : la courbure y est plus douce, donc il faut parcourir plus de chemin pour que la verticale tourne d'un degré. C'est là toute l'affaire du XVIIIᵉ siècle — Newton prédit l'aplatissement, les Cassini mesurent le contraire, et les expéditions du Pérou et de Laponie tranchent. Le degré passe de 110,574 km à l'équateur à 111,694 km au pôle : un écart de 1 %, mais parfaitement mesurable.

Pourquoi la verticale ne vise pas le centre. Sur un ellipsoïde, la normale à la surface ne passe pas par le centre, sauf à l'équateur et au pôle : c'est ce décalage, visible sur la figure de gauche quand on exagère l'aplatissement, qui fait que la latitude astronomique — celle qu'on lit sur les étoiles — n'est pas l'angle au centre. Toute la géodésie tient dans cette distinction, et c'est elle qui, à la fin de cette page, expliquera l'énigme de Méchain.

Un arc de méridien mesuré donne une équation entre le demi-grand axe a et l'aplatissement f : dans le plan (1/f, a), il définit une courbe. Deux arcs mesurés à des latitudes différentes donnent deux courbes, et leur intersection donne la Terre. Encore faut-il que les deux courbes se coupent franchement — et c'est là que tout se joue : plus les deux arcs sont proches en latitude, plus les courbes deviennent tangentes, et plus la moindre erreur déplace l'intersection.

Ce que le Pérou a servi à faire. L'expédition de La Condamine, Bouguer et Godin part en 1735 pour mesurer un arc à l'équateur ; celle de Maupertuis part l'année suivante pour la Laponie. Dix ans de travaux, quelques morts, un procès, et un résultat : la Terre est aplatie, Newton avait raison. Sans ces deux arcs éloignés, l'arc de France seul n'aurait rien pu dire de l'aplatissement — il aurait fallu le supposer, et c'est précisément ce que la commission de 1799 a dû faire en partie.

La chaîne de calcul est courte. L'arc mesuré, divisé par son amplitude en latitude, donne l'échelle de l'ellipsoïde ; l'ellipsoïde donne le quart de méridien ; le quart divisé par dix millions donne le mètre ; et le mètre, exprimé dans l'ancienne unité, donne le nombre que la commission a gravé dans la loi : 443,296 lignes de la toise du Pérou. Chaque étape est ici recalculée, et l'arithmétique finale se vérifie à la sixième décimale.

mètre selon l'aplatissement supposémètre visémètre de 1799

Le mètre provisoire et le mètre définitif. En attendant la fin des relevés, la République adopte dès 1793 un mètre provisoire de 443,44 lignes, calculé sur les anciennes mesures. Le résultat définitif, arrêté en 1799 par une commission internationale, le raccourcit à 443,296 lignes — soit trois dixièmes de millimètre de moins. C'est cette seconde valeur qui est déposée aux Archives sous forme d'une barre de platine, et qui deviendra, sans plus jamais bouger, la longueur du mètre.

L'élément décisif. Le mètre des Archives est trop court de 0,197 mm : le vrai quart de méridien vaut 10 001 966 mètres et non dix millions. Il faut donc qu'une erreur relative de 2·10⁻⁴ se soit glissée quelque part. Le graphique ci-dessous met chaque source d'erreur à son échelle réelle, calculée par les formules des planches précédentes. La triangulation est hors de cause, l'aplatissement supposé presque aussi. Il ne reste qu'un poste capable d'atteindre la cible : les latitudes astronomiques des deux extrémités — et c'est exactement là que Méchain, à Barcelone, avait trouvé deux résultats incompatibles qu'il n'a jamais osé publier.

Méchain n'avait pas tort, il avait raison trop tôt. À Barcelone, ses deux séries d'observations de latitude — l'une au château de Montjuïc, l'autre en ville — différaient d'environ trois secondes, largement au-delà de ce que son instrument permettait d'imputer au hasard. Il y vit une faute personnelle, s'en tourmenta jusqu'à sa mort en 1804 en Espagne, où il était reparti prolonger la mesure. Or la verticale, celle que donne un fil à plomb ou un bain de mercure, ne pointe pas vers le centre d'un ellipsoïde idéal : elle est déviée de quelques secondes par les masses voisines — les Pyrénées d'un côté, le socle du bassin parisien de l'autre. Ce que Méchain a pris pour son erreur est le premier indice mesuré de ce qu'on appellera un siècle plus tard le géoïde, et le mètre trop court en est la trace conservée.