Le sinus n'est pas additif : sin(a + b) ne vaut pas sin a + sin b. Ce qu'il faut à la place tient en deux lignes, mais ces deux lignes sont le pivot de toute la trigonométrie — la duplication, la transformation des sommes en produits, les battements acoustiques et jusqu'aux polynômes de Tchebychev n'en sont que des conséquences déroulées.
I. La figure II. Composer deux rotations III. Les conséquences IV. Somme et produit V. Tchebychev
Un rayon unité fait un angle a + b avec l'horizontale. On le projette d'abord sur la direction intermédiaire, celle d'angle a : cette projection mesure cos b, et le reste sin b. Il ne reste plus qu'à rabattre ces deux morceaux sur les axes — chacun apporte deux termes, et les quatre termes sont exactement ceux des formules.
La figure ne vaut littéralement que pour a, b et a + b aigus — les segments deviendraient négatifs ailleurs. Les formules, elles, restent vraies pour tous les angles réels : c'est la planche suivante qui le montre, en remplaçant la figure par une rotation. Notez le signe moins dans la formule du cosinus : il vient de ce que le morceau sin b, rabattu sur l'horizontale, part en arrière — il retranche au lieu d'ajouter. Changer b en −b échange les deux : cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.
Tourner de b puis de a, c'est tourner de a + b : voilà tout le contenu des formules. Écrite en matrices, l'égalité R(a)·R(b) = R(a + b) livre les deux identités d'un seul coup, l'une dans la première colonne, l'autre dans la seconde — et elle vaut pour n'importe quels angles, positifs, négatifs ou dépassant le tour.
La matrice de rotation a ceci de particulier que sa première colonne est l'image du vecteur (1, 0) : elle vaut donc (cos, sin) de l'angle. Multiplier R(a) par R(b) revient à faire tourner les colonnes de R(b) — et la première colonne du produit, qui doit être (cos(a + b), sin(a + b)), donne les deux formules ligne à ligne. En nombres complexes le même calcul s'écrit en une ligne : eia·eib = ei(a+b), où la partie réelle est le cosinus et la partie imaginaire le sinus. Le déterminant reste égal à 1 : une rotation ne change ni les aires ni l'orientation.
Faire b = a donne les formules de duplication ; le cosinus en a trois écritures, toutes équivalentes par cos² + sin² = 1. Pour la tangente, diviser le sinus par le cosinus fait apparaître un dénominateur — et ce dénominateur peut s'annuler. En trait plein le membre de gauche, en pointillé le membre de droite : ils se superposent exactement. La courbe bleue est leur différence, grossie mille billions de fois.
La courbe bleue ne montre rien d'autre que le bruit d'arrondi de la machine : multipliée par 10¹⁵, elle plafonne à quelques unités, c'est-à-dire à quelques epsilon. Les identités sont donc vérifiées à la dernière décimale disponible. En mode tangente, surveillez le dénominateur : quand a + b approche 90°, il tend vers zéro et la formule explose — non par défaut de l'identité, mais parce que la tangente elle-même n'existe pas là. C'est le prix de travailler avec un quotient plutôt qu'avec un couple (cos, sin).
En additionnant les formules de a + b et de a − b, les termes croisés s'annulent deux à deux et il reste sin p + sin q = 2 sin((p+q)/2) · cos((p−q)/2). Une somme de deux sinusoïdes est donc un produit : une onde à la fréquence moyenne, enveloppée par une lente ondulation à la demi-différence. C'est exactement ce qu'entend l'oreille quand deux notes voisines battent.
L'enveloppe tracée en pointillé n'est pas ajustée après coup : c'est la fonction ±2 cos((f₁−f₂)t/2) que la formule impose. Deux détails que la figure rend visibles : l'enveloppe s'annule périodiquement, et à cet instant la porteuse change de signe — un saut de phase d'un demi-tour ; par ailleurs on entend |f₁ − f₂| battements par seconde et non la moitié, parce que l'oreille perçoit l'intensité, donc la valeur absolue de l'enveloppe, dont la période est deux fois plus courte. C'est ce battement que compte l'accordeur de piano. L'écart mesuré, de l'ordre de 10⁻¹⁴, n'est pas plus mauvais qu'attendu : sur la fenêtre les arguments atteignent 2π·17·2 ≈ 214 radians, et l'erreur d'arrondi d'un sinus croît proportionnellement à son argument — c'est bien deux cents epsilon, pas davantage.
Appliquons la formule des sommes à cos((n+1)θ) + cos((n−1)θ) = 2 cos θ · cos(nθ). Elle dit que chaque cosinus multiple se déduit des deux précédents par une multiplication par cos θ. De proche en proche, cos(nθ) est donc un polynôme en cos θ — à coefficients entiers. Le cercle, projeté sur son diamètre, engendre une famille de polynômes.
Les coefficients sont calculés uniquement par la récurrence Tn+1 = 2x·Tn − Tn−1, en arithmétique entière, sans jamais évaluer un cosinus ; la courbe rouge est ce polynôme, la courbe verte en pointillé est cos(n·arccos x) calculée par la machine. Qu'elles se confondent est le contrôle de la planche. Deux propriétés remarquables se lisent sur la figure : les racines ne sont pas régulièrement espacées mais se resserrent aux bords — ce sont les projections de points régulièrement répartis sur le cercle, et elles font les meilleurs points d'interpolation connus ; et le polynôme oscille exactement n + 1 fois entre −1 et +1, propriété qui, divisée par 2n−1, en fait le polynôme unitaire de plus petit maximum sur [−1, 1]. Un dernier détail que le contrôle révèle : l'écart croît avec le degré, non par défaut de la récurrence — qui est exacte, en entiers — mais parce qu'évaluer un polynôme dont les coefficients atteignent 6144 fait s'annuler entre eux de grands termes ; à n = 12 il ne reste qu'une douzaine de chiffres justes, tandis que la forme cos(n·arccos x) les garde tous.