Croître, décroître : cela se définit avec deux points et une comparaison, bien avant toute dérivée. Cinq planches pour passer de la corde à la tangente, du signe de f′ au tableau de variations — et pour finir, une fonction qui possède un minimum sans être monotone d'aucun côté.
Planche 1
La définition : deux points, une comparaison
Une fonction est croissante sur un intervalle si l'ordre des abscisses s'y retrouve dans l'ordre des images. Toutes les cordes que l'on peut y tracer montent alors, sans exception. Déplacez les deux points, puis l'intervalle de test.
Corde (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁)—
Conclusion sur [x₁ ; x₂]—
Épreuve : 600 couples tirés au hasard—
Pire corde rencontrée—
Changement de sens en—
Extremums de la courbe—
Ce qu'il faut retenir. « Croissante » n'est pas une propriété d'un point, mais d'un intervalle : elle se lit sur des couples de valeurs. Une fonction peut très bien être croissante sur un intervalle, décroissante sur un autre, sans être ni l'un ni l'autre sur leur réunion. L'épreuve par tirage aléatoire ne démontre rien — elle ne fait que confirmer, corde après corde, ce que la lecture du graphique laisse voir ; c'est la dérivée, planche suivante, qui donnera la preuve.
Planche 2
De la corde à la tangente
On rapproche le second point du premier : la corde pivote et vient se coller sur la tangente. Le nombre dérivé f′(x₀) est la limite du taux d'accroissement — et l'écart entre les deux décroît proportionnellement à h.
Taux d'accroissement sur h—
Nombre dérivé f′(x₀) = x₀² − 1—
Écart taux − dérivée—
Rapport écart / h—
Contrôle f″(x₀)/2 = x₀—
Signe de f′(x₀)—
Ce qu'il faut retenir. Le taux d'accroissement est la pente d'une corde ; le nombre dérivé est la pente de la tangente. Le passage de l'un à l'autre est un passage à la limite, et l'erreur commise en confondant les deux vaut environ f″(x₀)·h/2 : diviser h par 10 divise l'écart par 10, ce que la lecture « écart / h » confirme en se stabilisant. Une fois cette limite acquise, le signe de f′ résume à lui seul le sens de variation.
Planche 3
Le signe de f′ gouverne le sens de variation
Deux fenêtres superposées, un même axe des abscisses : la fonction en haut, sa dérivée en bas. Le curseur balaie l'ensemble ; là où la courbe du bas est au-dessus de zéro, celle du haut monte. Les racines de f′ sont calculées, pas devinées.
Dérivée—
Discriminant de x² + ax + b—
Racines de f′—
Contrôle f′(racine)—
Intervalles de monotonie—
Épreuve : inversions sur 1 600 couples—
Ce qu'il faut retenir. Le théorème est celui-ci : si f′ est strictement positive sur un intervalle, f y est strictement croissante ; si elle est négative, f y décroît. Les racines de f′ découpent donc le domaine en intervalles de monotonie. Attention au sens de l'implication : une racine de f′ n'est un extremum que si le signe change de part et d'autre — sinon la courbe se contente d'un palier avec tangente horizontale, comme x³ en 0.
Planche 4
Le tableau de variations, construit sous vos yeux
Le tableau n'est rien d'autre que le résumé du signe de la dérivée. Les colonnes sont ici alignées à la verticale sous la courbe, et la case parcourue s'allume au passage du point mobile.
Ensemble de définition—
Dérivée—
Points critiques—
Contrôle f′ aux points critiques—
Nature, vérifiée de part et d'autre—
Position courante—
Ce qu'il faut retenir. Un tableau de variations se lit de gauche à droite : première ligne les valeurs remarquables de x (bornes, valeurs interdites, racines de f′), deuxième ligne le signe de f′, troisième ligne les flèches et les valeurs atteintes. La double barre marque une valeur interdite, jamais un extremum. Lu correctement, ce tableau donne le nombre de solutions de f(x) = m pour toute valeur de m — c'est là son véritable usage.
Planche 5 — élément signature
Un minimum sans aucune monotonie
Voici f(x) = x² (2 + sin(1/x)), prolongée par f(0) = 0. Elle est dérivable partout, sa dérivée s'annule en 0, elle y atteint un minimum strict — et pourtant elle n'est croissante sur aucun intervalle à droite de 0, si petit soit-il. Zoomez : la bande de signes vire au code-barres.
Fenêtre [−h ; h]—
Encadrement x² ≤ f(x) ≤ 3x²—
Minimum de f sur la fenêtre, hors 0—
Nombre dérivé en 0 (taux à 10⁻⁸)—
Alternances de signe de f′ sur [h/2 ; h]—
Estimation 1 / (π h)—
Ce qu'il faut retenir. La dérivée vaut f′(x) = 2x (2 + sin(1/x)) − cos(1/x) : le premier terme tend vers 0, mais le second continue d'osciller entre −1 et 1 aussi près de l'origine qu'on veuille. Le signe de f′ change donc une infinité de fois sur tout intervalle ]0 ; ε[ — le compte mesuré suit la loi 1/(πh) et explose au grossissement. Conclusion : f′(x₀) = 0 avec minimum n'entraîne pas que la fonction décroît avant et croît après. Ce qui rend le tableau de variations légitime pour les fonctions usuelles, c'est la continuité du signe de leur dérivée — une hypothèse si banale qu'on l'oublie, et que cette courbe rappelle brutalement.