Une seule idée les fait tous naître : remplacer un nombre par l'exposant qui le fabrique. Les produits deviennent des sommes, et quinze ordres de grandeur tiennent sur une règle graduée de dix centimètres.
Cinq planches animées. Tout ce qui est affiché en chiffres est calculé dans la page, et confronté aux formules classiques.
Le logarithme de x en base b est l'exposant qu'il faut donner à b pour retomber sur x. Rien de plus. La courbe bleue est donc le miroir de la courbe rouge dans la bissectrice : les deux fonctions se défont l'une l'autre.
y = logb(x) ⟺ by = x
Toutes les courbes logarithmiques passent par (1 ; 0), quelle que soit la base : aucun exposant ne fabrique 1 sinon zéro. Faites glisser la base vers 1 : la courbe se couche, parce qu'il faut un exposant de plus en plus grand pour s'éloigner de 1. La base e est celle pour laquelle la pente en x vaut exactement 1/x ; c'est la seule raison de son privilège.
C'est le service que Napier rendait en 1614, trois siècles avant la calculatrice : une multiplication coûte cher, une addition ne coûte rien. Sur une règle à calcul, les nombres sont placés à la distance log(v) de l'origine ; mettre deux longueurs bout à bout revient donc à multiplier.
La règle mobile ne fait rien d'autre que reporter une longueur. Ce report est l'addition des logarithmes ; le résultat se lit directement en nombres sur la règle fixe, sans jamais avoir écrit une multiplication. Les trois règles affichées à droite sont les seules qu'il faut retenir : elles se démontrent toutes les trois en une ligne à partir de bu·bv = bu+v.
Sur du papier ordinaire, une croissance exponentielle et une loi de puissance se ressemblent : deux courbes qui montent. Changez l'échelle d'un axe, ou des deux, et l'une des deux devient une droite — dont la pente est précisément le paramètre cherché. Le curseur fait passer continûment de l'échelle linéaire à l'échelle logarithmique.
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Chaque fois qu'une grandeur physique s'étale sur dix, quinze ou vingt ordres de grandeur, on ne la mesure pas : on mesure son logarithme. Le bandeau du haut montre la grandeur physique portée sur une échelle linéaire honnête — tout s'écrase contre le zéro. Celui du bas est la même information après passage au logarithme.
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Le logarithme n'a pas été inventé comme une aire, ni comme une loi statistique, ni comme une somme. Il apparaît pourtant sous ces trois formes, et chaque fois la même constante revient. Trois volets, trois calculs indépendants menés dans la page.
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Page autonome : aucun calcul n'est pré-écrit, tout est recalculé à l'ouverture. Les valeurs de contrôle sont obtenues par une méthode différente de celle qui produit la courbe, de manière à ce qu'un accord à 10−15 ait un sens.