Les dix-sept vignettes

Les dix-sept d'un seul regard, tous engendrés à partir du même motif asymétrique. Les copies bleues conservent l'orientation, les ocre l'ont renversée : la proportion d'ocre dit immédiatement si le groupe contient des réflexions. Rangés par réseau — oblique, rectangulaire, carré, hexagonal — l'ordre du groupe croît de gauche à droite dans chaque rangée.

copie directecopie retournée

Cinq groupes seulement n'ont aucune réflexion — p1, p2, p3, p4, p6 : ce sont exactement ceux dont la signature orbifold ne contient ni étoile ni croix. Les douze autres retournent le plan quelque part, et l'œil le remarque avant de savoir pourquoi : un motif qui contient son propre reflet a une qualité de repos que les autres n'ont pas.

Devant un carrelage, un tissu, un papier peint, on procède comme un botaniste : par une clé dichotomique. La première question est toujours la même — quel est le plus grand ordre de rotation ? Il ne peut valoir que 1, 2, 3, 4 ou 6. Ensuite trois questions au plus suffisent. Répondez ci-dessous ; le tableau du bas montre que chacun des dix-sept répond de façon unique, ce qui prouve que la clé les sépare tous.

Les réponses du tableau ne sont pas recopiées d'un livre : elles sont calculées à partir des tables de transformations, en classant chaque isométrie du groupe, en réduisant les glissements modulo le réseau et en testant si chaque centre de rotation tombe sur un axe de miroir. Que les dix-sept lignes soient deux à deux distinctes est donc une vérification, pas une affirmation.

Quatre confusions classiques. À chaque fois, deux groupes partagent le réseau, l'ordre et les mêmes rotations, et ne se distinguent que par un détail de position — un centre qui tombe sur un miroir, ou juste à côté. Les centres pleins sont posés sur un axe de miroir, les centres creux ne le sont pas : c'est tout ce qui sépare p3m1 de p31m, et p4m de p4g.

miroirglisséecentre sur miroircentre libre

Pourquoi la notation orbifold est plus honnête. Les sigles cristallographiques p3m1 et p31m se distinguent par la position d'un chiffre, ce qui n'aide personne ; les signatures *333 et 3*3 disent exactement ce qu'il faut voir — dans la première, les trois centres d'ordre 3 sont des coins posés sur le miroir ; dans la seconde, l'un d'eux est un centre libre, placé avant l'étoile.

Un domaine fondamental est un morceau de plan qui, promené par toutes les transformations du groupe, recouvre le plan exactement une fois. Il en existe une infinité ; celui que la page construit ici est le plus naturel : partant d'un point quelconque, on garde tous les points du plan plus proches de lui que de n'importe laquelle de ses images. Son aire doit valoir l'aire de la maille divisée par l'ordre du groupe — et c'est ce que la mesure affiche.

Le domaine change de forme, jamais d'aire. Déplacez le point de base : le polygone se déforme, gagne ou perd des côtés, se recentre — et son aire reste rigoureusement égale à l'aire de la maille divisée par l'ordre. C'est la définition même d'un domaine fondamental, et la seule quantité que le groupe impose. Si le point de base tombe sur un centre de rotation ou sur un miroir, la construction dégénère : le point y a un stabilisateur, et son orbite compte moins d'éléments qu'il n'en faudrait.

L'élément décisif, et le plus simple : tracez un trait dans le cadre. Le groupe choisi s'occupe du reste — il reproduit votre geste par toutes ses rotations, ses miroirs et ses glissées, puis par toutes les translations du réseau. Changez de groupe sans effacer : le même trait donnera dix-sept papiers peints différents, et c'est la meilleure façon de comprendre ce que chacun fait réellement.

Ce que les artisans savaient sans le dire. Un tailleur de zellige, un tisserand ou un imprimeur d'indiennes ne connaît pas la liste des dix-sept, mais il connaît le geste : on grave un poinçon, et la répétition fait le reste. Les mosaïques de l'Alhambra couvrent une bonne partie des dix-sept groupes — les spécialistes discutent encore du compte exact, selon qu'on tient compte ou non des couleurs — sans qu'aucun texte du XIVᵉ siècle n'en fasse la théorie. La classification est venue cinq siècles plus tard décrire ce que la main avait déjà épuisé.