Quand une somme de « oui / non » indépendants — une loi binomiale — grossit, son histogramme en marches se lisse en une courbe : la fameuse cloche de Gauss. Ce théorème dit précisément dans quel sens, et à quelle vitesse.
Une variable Xn qui suit une loi binomiale ℬ(n, p) compte le nombre de succès parmi n répétitions indépendantes d'une expérience de Bernoulli de paramètre p. Sa loi exacte s'écrit avec un coefficient binomial :
Dès que n dépasse quelques dizaines, ces factorielles deviennent ingérables à la main. Le théorème de Moivre-Laplace (1733, généralisé par Laplace) montre qu'on peut alors remplacer ce calcul discret par une lecture continue, sur la courbe en cloche de la loi normale — beaucoup plus simple à manipuler et tabulée une fois pour toutes.
On centre et on réduit Xn en retranchant son espérance np et en divisant par son écart-type √(np(1−p)) :
Le théorème affirme que pour tous réels a ≤ b, la probabilité que Zn tombe entre a et b tend vers l'aire sous la courbe normale centrée réduite entre ces deux bornes :
Le membre de droite est exactement Φ(b) − Φ(a), où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite 𝒩(0, 1). Autrement dit : Zn converge en loi vers 𝒩(0, 1), ce qui revient à dire que Xn se comporte, pour n grand, comme une loi normale 𝒩(np, np(1−p)).
La convergence est théoriquement valable à la limite, mais en pratique on considère l'approximation fiable dès que ces trois seuils sont franchis simultanément — ajustez les curseurs du §1 et regardez ces indicateurs réagir :
Ces trois conditions évitent surtout le cas où p est proche de 0 ou de 1 : la binomiale devient alors très asymétrique (concentrée près de 0 ou de n), et une cloche symétrique l'approche mal — même avec n grand. C'est pourquoi les deux dernières conditions portent sur np et n(1−p), pas seulement sur n.
Une chaîne de production a un taux de pièces défectueuses de p = 0,04. Sur un lot de n = 400 pièces, quelle est (approximativement) la probabilité d'observer entre 10 et 20 défauts ?
On vérifie les conditions : n = 400 ≥ 30, np = 16 ≥ 5, n(1−p) = 384 ≥ 5. L'approximation est légitime.
On calcule μ = np = 16 et σ = √(np(1−p)) = √15,36 ≈ 3,919.
On réduit les bornes : a = (10 − 16) / 3,919 ≈ −1,531 et b = (20 − 16) / 3,919 ≈ 1,021.
On lit la table (ou une calculatrice) : Φ(1,021) − Φ(−1,531) ≈ 0,8461 − 0,0629 ≈ 0,783.
La loi de Moivre-Laplace n'est pas qu'un raccourci de calcul : c'est la brique théorique derrière les intervalles de fluctuation et de confiance sur une proportion. Au seuil de 95 %, on retient 1,96 car c'est la valeur telle que Φ(1,96) − Φ(−1,96) ≈ 0,95 — directement issue de la courbe du §3.
C'est le même triangle n, p, √(np(1−p)) qui réapparaît partout dans ce théorème : une fois qu'on l'a compris ici, on le reconnaît dans tous les tests et intervalles construits sur une proportion.
ℬ(n, p) ressemble à 𝒩(np, np(1−p)) quand n est grand.
Zn = (Xn − np) / √(np(1−p)) converge vers 𝒩(0, 1).
n ≥ 30, np ≥ 5, n(1−p) ≥ 5.
Calculer P(a ≤ Xn ≤ b) sans somme binomiale ; fonder les intervalles de fluctuation/confiance.