Cahier de Mathématiques — Arithmétique et approximation
Du crible d'Ératosthène à la formule explicite de Riemann : comment une suite qui semble sans loi finit par obéir, terme après terme, à une musique de zéros.
Vers 240 av. J.-C. — on ne cherche pas les premiers, on élimine les autres.
Le crible s'arrête tôt : dès que p² dépasse N, tout ce qui reste debout est premier. Aucun nombre composé ≤ N ne peut échapper, puisqu'il possède forcément un facteur premier ≤ √N.
Le crible donne la liste, pas la loi. Il fabrique les premiers un à un sans jamais dire combien il y en aura — c'est précisément la question de la planche suivante.
Théorème des nombres premiers (Hadamard et de la Vallée Poussin, 1896) : π(x) ~ x / ln x.
x / ln x donne le bon ordre de grandeur mais reste toujours en retard : à 106 il manque près de 8 %. Li(x), l'intégrale logarithmique, colle infiniment mieux — parce qu'elle intègre la densité locale 1/ln t au lieu de la supposer constante. R(x) = Σ μ(n)/n · li(x1/n) corrige encore Li en retranchant les carrés, cubes… de premiers.
Li(x) semble majorer π(x) pour toujours. Littlewood a démontré en 1914 que la différence change de signe une infinité de fois ; le premier changement, jamais atteint par le calcul, se situe quelque part au-delà de 1019 (nombre de Skewes).
Stanisław Ulam, 1963, sur un coin de bloc-notes pendant un exposé ennuyeux.
On écrit les entiers en spirale et on noircit les premiers : au lieu d'une poussière uniforme apparaissent des diagonales. Chaque diagonale de la spirale est un polynôme quadratique 4n² + bn + c ; certains sont anormalement riches en premiers, comme le célèbre n² + n + 41 d'Euler, premier pour n = 0 … 39.
La spirale ne prouve rien, mais elle montre l'essentiel : les premiers sont irrégulièrement répartis et statistiquement structurés. Conjecture F de Hardy–Littlewood (1923) : on sait prédire la densité de chaque diagonale, on ne sait démontrer qu'aucune n'en contient une infinité.
Trois façons de regarder le désordre local d'une suite globalement régulière.
Riemann, 1859 : les zéros de ζ ajoutés un à un recollent la courbe lisse sur les marches de l'escalier.
ψ(x) = x − Σρ xρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − x−2)
La fonction de Tchebychev ψ monte d'une marche de hauteur ln p à chaque puissance de premier. Le terme principal est simplement x : voilà le théorème des nombres premiers. Tout le reste — chaque marche, chaque irrégularité — est écrit dans la somme sur les zéros non triviaux ρ = ½ + iγ de la fonction zêta.
Chaque zéro apporte une onde −2√x cos(γ ln x − φ) / |ρ| : une sinusoïde pure en ln x, de période 2π/γ, d'amplitude √x/|ρ|. Aucune ne connaît les nombres premiers ; leur somme les reconstitue exactement.
Si tous les zéros ont bien pour partie réelle ½ — hypothèse de Riemann — alors toutes ces ondes ont exactement la même amplitude √x et l'erreur du théorème des nombres premiers reste en O(√x ln²x). Un seul zéro décalé à droite de ½ ferait enfler une onde et déréglerait durablement l'escalier. Crible complet jusqu'à 106, 50 premiers zéros non triviaux de ζ tabulés.