Le calcul tensoriel

Dans une base orthonormée, personne ne se pose la question. Prenez une base oblique et deux lectures apparaissent. La première décompose le vecteur en parallélogramme sur e₁ et e₂ : ce sont les composantes contravariantes vⁱ. La seconde le projette orthogonalement sur chaque vecteur de base : ce sont les composantes covariantes v_i. Elles diffèrent, et le produit scalaire ne se retrouve qu'en appariant une de chaque sorte — vⁱw_i donne la bonne valeur, vⁱwⁱ ne veut rien dire.

base e₁, e₂base dualecontravariantcovariant

D'où viennent les noms. Si l'on double la longueur des vecteurs de base, les composantes contravariantes sont divisées par deux — elles varient contre la base — tandis que les composantes covariantes sont doublées, elles varient avec elle. C'est la raison de la convention des indices : en haut pour ce qui varie à l'inverse, en bas pour ce qui varie comme la base. La sommation d'Einstein n'apparie jamais que des indices de sortes opposées, et cette règle typographique est en réalité une garantie d'invariance.

L'objet qui relie les deux lectures est la matrice des produits scalaires des vecteurs de base, g_ij = e_i·e_j. C'est le tenseur métrique, et il fait tout le travail : il donne la longueur d'un vecteur à partir de ses composantes, l'angle entre deux vecteurs, et il permet de descendre un indice — v_i = g_ijv^j — comme son inverse permet de le remonter. Le dessin de gauche montre l'ensemble des vecteurs de longueur 1 : un cercle dans le plan réel, mais une ellipse quand on le lit dans les composantes.

La métrique est le seul contenu de la géométrie. Une fois g donnée en chaque point, tout suit : les longueurs, les angles, les aires, les géodésiques, et jusqu'à la courbure. C'est le programme de Riemann, et c'est pourquoi la relativité générale n'est pas autre chose qu'une équation portant sur g. Dans le plan euclidien et une base orthonormée, g est l'identité — et c'est cette coïncidence qui permet, en physique élémentaire, d'oublier la distinction entre indices hauts et bas pendant des années.

Un tenseur d'ordre deux se lit comme une application linéaire : il prend un vecteur et en rend un autre. On le voit en regardant l'image du cercle unité, qui est une ellipse — les axes de l'ellipse donnent les directions propres. Faites tourner la base : les quatre composantes changent du tout au tout, mais deux nombres ne bougent pas d'un chiffre, la trace et le déterminant. Ce sont les invariants, et ce sont eux qui ont un sens physique.

Symétrique plus antisymétrique. Tout tenseur d'ordre deux se décompose d'une seule façon en une partie symétrique et une partie antisymétrique, et cette décomposition résiste au changement de base — c'est elle qui sépare, dans le gradient d'un champ de vitesses, la déformation pure d'une part et la rotation d'ensemble d'autre part. En dimension trois, la partie antisymétrique n'a que trois composantes indépendantes : on peut la remplacer par un vecteur, et ce vecteur est le rotationnel de la planche précédente. Encore une coïncidence de la dimension trois.

Voici pourquoi les ingénieurs ont adopté les tenseurs. Dans un solide sollicité, la force qui s'exerce à travers une petite facette dépend de l'orientation de cette facette : ce n'est pas un vecteur mais une machine qui prend une normale et rend un vecteur — le tenseur des contraintes de Cauchy. Faites tourner la coupe : la contrainte normale et le cisaillement varient, et le point (σ, τ) décrit exactement un cercle. C'est le cercle de Mohr, tracé ici point par point pendant que la facette pivote, et ses intersections avec l'axe donnent les contraintes principales.

vecteur contraintepart normalepart de cisaillement

Ce que le cercle rend évident. Que le cisaillement s'annule dans deux directions perpendiculaires — les directions principales, où la matière n'est que tirée ou comprimée. Que le cisaillement maximal vaut la moitié de l'écart des contraintes principales, et qu'il apparaît à quarante-cinq degrés de celles-ci : c'est pourquoi une éprouvette d'acier tirée casse en biais, et pourquoi les fissures de retrait d'un mur en compression prennent la même inclinaison. Otto Mohr publie sa construction en 1882 ; elle survit encore dans tous les cours de résistance des matériaux, parce qu'elle donne d'un coup d'œil ce que la diagonalisation donne par le calcul.

L'élément décisif, et la raison d'être du calcul tensoriel. Sur une surface courbe, dériver un champ de vecteurs n'a pas de sens tant qu'on ne sait pas comparer des vecteurs situés en des points différents. La réponse est le transport parallèle : on déplace le vecteur en lui interdisant de tourner dans le plan tangent. Promenez-le le long d'un triangle géodésique de la sphère et il revient au point de départ tourné — d'un angle égal, exactement, à l'aire du triangle. Cette rotation est la courbure, et c'est elle que le tenseur de Riemann mesure.

Pourquoi il fallait un tenseur. Cette rotation ne dépend pas du chemin choisi mais seulement de la boucle, et pour une petite boucle elle est proportionnelle à l'aire enclose : le facteur de proportionnalité est la courbure. En dimension supérieure, la boucle a une orientation, le vecteur transporté en a une aussi, et il faut donc un objet à quatre indices pour tout décrire — le tenseur de courbure de Riemann. Sa nullité caractérise les espaces plats, et une de ses contractions, réglée par la matière, est l'équation d'Einstein. Le calcul tensoriel n'a pas été inventé pour la relativité : Ricci et Levi-Civita l'avaient mis au point vingt ans plus tôt, et Einstein a passé trois années à l'apprendre.