Cahier de statistique — ajustement d’une loi continue

Le test de Kolmogorov–Smirnov

Une machine découpe des pièces dont le diamètre est censé suivre une loi normale N(50 ; 6). Plutôt que de compter des effectifs par classes comme le χ², Kolmogorov compare toute la fonction de répartition empirique — l’escalier construit sur les mesures — à la courbe théorique, et retient le plus grand écart vertical entre les deux. Une seule distance, aucune classe à choisir.

Étape 1

Les hypothèses et l’expérience

On mesure n pièces et l’on confronte l’échantillon à la loi de référence F₀ = N(50 ; 6), entièrement spécifiée à l’avance.

H₀ (hypothèse nulle)
Les diamètres suivent la loi N(50 ; 6) : F = F₀.
H₁ (hypothèse alternative)
La vraie loi s’écarte de F₀ quelque part : F ≠ F₀.
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Étape 2

L’escalier empirique contre la courbe théorique

La fonction de répartition empirique Fn(x) monte d’une marche de hauteur 1/n à chaque mesure. Une fois l’escalier construit, un curseur balaie l’axe et mesure l’écart vertical |Fn(x) − F₀(x)| : le record rencontré est la statistique D.

Empirique Fn (escalier) Théorique F₀ = N(50 ; 6) Écart balayé Écart maximal D
Étape 3

La statistique de test

Dn = supx | Fn(x) − F₀(x) |

Le supremum se calcule aux seuls points de l’échantillon trié x(1) ≤ … ≤ x(n), en regardant chaque marche par le haut (D⁺) et par le bas (D⁻) : l’escalier saute, la courbe glisse, l’écart extrême est forcément au bord d’une marche.

Dobs = —
Étape 4

Le corridor de Kolmogorov et la décision

Si H₀ est vraie, √n Dn suit (asymptotiquement) la loi de Kolmogorov, quelle que soit la loi F₀ — le test est dit « sans distribution ». On en tire un seuil Dcrit : traçons le corridor F₀ ± Dcrit. Tant que l’escalier reste dans le corridor, l’ajustement est acceptable ; s’il en sort, ne serait-ce qu’une fois, H₀ est rejetée.

Corridor F₀ ± Dcrit Empirique Fn Théorique F₀
D observé
—
D critique (α)
—
p‑valeur
—

Dans la marge : essayez la loi uniforme de même moyenne et même écart-type avec beaucoup de pièces. Un test de Student ne verrait rien — les moyennes coïncident ! — mais Kolmogorov détecte la forme : l’escalier déborde du corridor au centre, là où la loi uniforme met trop peu de masse. Attention enfin : si μ et σ sont estimés sur l’échantillon au lieu d’être fixés d’avance, les seuils changent — c’est le test de Lilliefors.