Fibonacci, le nombre d'or, et les autres — cinq planches à manipuler
Une suite, c'est une liste de nombres rangés dans l'ordre : un premier, un deuxième, un troisième… Ce qui intéresse le mathématicien, ce n'est pas la liste elle-même, c'est la règle qui fabrique chaque terme à partir de son rang ou de ses prédécesseurs. Toutes les planches qui suivent calculent réellement leurs nombres, et vérifient chaque formule annoncée contre le calcul brut.
Deux façons de décrire une même suite. Par récurrence : on donne le premier terme et le moyen de passer d'un terme au suivant. Par formule explicite : on donne un directement en fonction de n, sans passer par les précédents. Les deux colonnes de lecture ci-dessous sont calculées séparément — leur écart mesure si la formule est juste.
Les termes en fonction du rang. Le trait rouge marque le terme choisi.
Les mêmes termes posés sur l'axe des valeurs : on voit s'ils s'accumulent quelque part.
En 1202, Leonardo de Pise pose un problème d'élevage : un couple de lapins devient adulte en un mois, puis engendre un nouveau couple chaque mois. Combien de couples au bout d'un an ? Le compte donne 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… — chaque nombre est la somme des deux précédents. Les nombres ci-dessous sont calculés en entiers exacts (aucun arrondi), ce qui permet de vérifier des identités à la virgule près.
Des carrés de côtés 1, 1, 2, 3, 5, 8… s'emboîtent sans trou : c'est l'addition Fn−1+Fn = Fn+1 vue en surface. Les quarts de cercle dessinent la spirale.
L'élevage de Leonardo. Disque plein : couple adulte, qui engendre. Cercle vide : couple jeune, qui grandit. Le total par ligne est un nombre de Fibonacci.
Divisez un terme de Fibonacci par le précédent : 1 ; 2 ; 1,5 ; 1,666… ; 1,6 ; 1,625… Les valeurs sautent au-dessus, puis en dessous, puis au-dessus, en resserrant l'étau autour d'un nombre qui n'a rien demandé : φ = (1+√5)/2. Rien dans la règle « additionne les deux précédents » n'annonçait sa venue. À droite, la même limite atteinte par un tout autre chemin, en partant de n'importe quel nombre positif.
Les rapports Fn+1/Fn encadrent φ (trait horizontal) en alternant.
On part de x0 et on applique sans cesse x ↦ 1 + 1/x. La toile d'araignée converge vers le point où la courbe croise la diagonale : φ.
Fibonacci n'est qu'un cas particulier. Changez les coefficients de la règle, ou la façon de compter, et vous obtenez d'autres familles — chacune avec sa constante de croissance, sa géométrie et son identité vérifiable. Chaque onglet recalcule tout, y compris les contrôles indépendants.
Prenez la règle la plus générale à deux termes : un+1 = a·un + b·un−1. Écrivez l'équation x² = a·x + b et résolvez-la. Les deux racines gouvernent tout : la plus grande donne la vitesse de croissance, leur rapport donne la vitesse de convergence, et si elles sont complexes, la suite tourne au lieu de croître. Cette planche vérifie chacune de ces affirmations en mesurant, pas en récitant.
Le plan des états : on place le point (un ; un+1), ramené sur le cercle pour n'en garder que la direction. Les deux droites propres sont tracées.
log₁₀|un| en fonction de n. Une droite : croissance géométrique. Sa pente est log₁₀ du module de la racine dominante.