Elles vendent le même produit, ne se parlent pas, et décident en même temps combien produire. Personne ne fixe le prix : c'est le marché qui le fixe, une fois les trois quantités additionnées.
Chaque entreprise n'a donc en main qu'un tiers de la décision qui détermine son propre profit. C'est la définition même d'une situation stratégique — mon résultat dépend de ce que font les autres, que je ne contrôle pas et ne connais pas au moment de décider.
On construit ici l'équilibre de Cournot à trois: c'est le triplet de productions (q₁, q₂, q₃) tel qu'aucune des trois entreprises ne gagnerait à modifier la sienne, les deux autres ne bougeant pas. C'est un point fixe, pas un accord : nul besoin de se parler pour y arriver.
On regarde le marché s'y installer — ou tourner en rond : savoir qu'un équilibre existe ne dit pas qu'on l'atteint. Si chacune des entreprises répond au mieux au dernier coup observé, à trois et rapidement, le marché oscille indéfiniment autour de l'équilibre sans jamais s'y poser.
On démonte ce cartel de fait par le calcul de la triche: on ne dit pas que le cartel est immoral, on calcule ce que rapporte la trahison dans chacun des trois cas de figure — et comme elle rapporte toujours davantage, l'accord se défait tout seul, par arithmétique.
On mesure la patience qu'il faudrait pour qu'il tienne: la patience est ici une grandeur, le facteur d'escompte δ (c'est le poids que l'entreprise accorde à un euro gagné la période prochaine, vu d'aujourd'hui. Un euro dans une semaine vaut δ euro maintenant, un euro dans deux semaines vaut δ², et ainsi de suite. δ est compris entre 0 et 1.)
Le seuil de temps δ* reflète le prix de la stabilité de ce cartel. Formulation volontairement au conditionnel : la page donne le chiffre, pas un pronostic.
Et on termine par une expérience où trois entreprises parfaitement raisonnables se ruinent en s'imitant.
Tout le jeu est là. On construit ici l'équilibre de Cournot à trois, on regarde le marché s'y installer — ou tourner en rond —, on démonte le cartel par le calcul de la triche, on mesure la patience qu'il faudrait pour qu'il tienne, et on termine par une expérience où trois entreprises parfaitement raisonnables se ruinent en s'imitant.
Planche 1 — le marché
Un prix pour trois décisions
Le modèle est le suivant : la demande détermine le prix, le prix auquel la demande s'éteint (alors il n'y a plus un seul acheteur) est a. Soit b la pente de la courbe de demande, il indique de combien le prix baisse quand le marché absorbe une unité produite de plus.
Soit le prix P = f(a − b*Q), avec Q = q₁ + q₂ + q₃. Le coût de production unitaire c est le même pour chaque entreprise et chacune encaisse πi = qi(P − c).
Changez les trois productions : les rectangles de profit sont dessinés à l'échelle, et le prix descend dès que l'une d'elles pousse.
Les trois paramètres du marché sont réglables et commandent toute la page. a est le prix maximum (au-dessus duquel plus personne n'achète).
c est le coût unitaire, ce que revient la fabrication d'un exemplaire de plus. Tous deux se mesurent en euros par unité, et leur écart a − c est la marge maximale disponible.
b est d'une autre nature : c'est la pente de la demande, la baisse de prix provoquée par chaque unité supplémentaire mise sur le marché, en euros par unité au carré.
C'est lui qui rend l'équation homogène — b·Q est un prix, pas une quantité — et c'est lui qui fixe l'échelle des productions : un b faible décrit un marché profond où l'on écoule beaucoup sans casser les cours, un b élevé un marché étroit que la moindre unité de plus fait plonger.
Toutes les grandeurs du modèle en sont des fractions fixes — (a−c)/4 pour la production d'équilibre de Cournot, (a−c)²/16 pour le profit de chacune.
Quantité totale Q67,5
Prix P52,5
Profit total1518,75
Marge a − c90
Profit A506,25
Profit B506,25
Profit C506,25
Chacune joue-t-elle sa meilleure réponse ?
A devrait produire22,50
B devrait produire22,50
C devrait produire22,50
Écart maximal0,00
qi* = (a − c) / ((n+1)b) → Q* = n(a−c)/((n+1)b), P* = (a + nc)/(n+1), πi* = (a−c)² / ((n+1)²b)
Ce que change le troisième entrant. Le passage de deux à trois entreprises ne divise pas le profit par trois : il le divise par plus de deux, parce que chaque nouvelle venue fait aussi baisser le prix. Le tableau est calculé pour les valeurs courantes des curseurs. À la limite, quand n grandit, le prix tend vers c et les profits vers zéro : la concurrence parfaite n'est pas un cas à part, c'est la fin de la série.
Les unités, pour lever une ambiguïté fréquente. a, c et P sont des prix : des euros par unité. Q et les qi sont des quantités : des unités. b vaut donc des euros par unité au carré, et c'est ce qui autorise la soustraction dans P = a − b·Q. Vérification sur les formules : q* = (a−c)/((n+1)b) donne bien (€/u) ÷ (€/u²) = des unités, et π* = (a−c)²/((n+1)²b) donne (€/u)² ÷ (€/u²) = des euros. Le profit est une aire — une quantité multipliée par une marge unitaire —, et c'est exactement le rectangle dessiné ci-dessus. Beaucoup de manuels posent b = 1 et écrivent P = a − Q : le nombre disparaît, l'unité reste.
Et si elles se faisaient la guerre des prix plutôt que des quantités ? Dans le modèle de Bertrand, chacune annonce un prix et la moins-disante rafle le marché. Avec un produit identique et des capacités illimitées, il ne reste qu'un équilibre : les trois annoncent P = c et gagnent zéro. Deux entreprises suffisaient déjà à ce résultat — la troisième ne change rien. C'est le paradoxe de Bertrand : selon qu'on suppose la quantité ou le prix comme variable de décision, le même marché donne des profits confortables ou nuls. Le choix de la variable stratégique est une hypothèse, pas une conséquence.
Planche 2 — dynamique
Le tâtonnement : trois entreprises qui n'arrivent pas à se poser
Personne ne calcule l'équilibre d'un coup. Chacune observe ce qu'ont fait les autres et ajuste. La meilleure réponse de l'entreprise i à une production adverse S vaut R(S) = (a − c − bS)/(2b). Reste à savoir si ce va-et-vient converge — et la réponse dépend de la vitesse à laquelle on ajuste.
Période0
Écart à Cournot—
Facteur mesuré—
Valeur propre symétrique−1,000
Valeur propre transverse+0,500
Seuil de stabilité λ <1,000
λsym = 1 − λ(n+1)/2 ; λtransv = 1 − λ/2
Avec trois entreprises et un ajustement complet (λ = 1), la valeur propre symétrique vaut exactement −1 : le système est à la frontière, il oscille indéfiniment sans jamais se poser, et l'amplitude de l'oscillation ne dépend que du point de départ. Ralentissez l'ajustement et la convergence revient. Avec quatre entreprises ou plus, le même réflexe — répondre au mieux, tout de suite — ferait exploser le marché.
Planche 3 — le cube
Cartel ou triche : le dilemme du prisonnier à trois joueurs
Réduisons le choix à deux options : tenir l'accord (produire le tiers de la quantité de monopole) ou tricher (produire la quantité de Cournot). Trois entreprises, deux options : huit issues, les huit sommets d'un cube. Faites-le tourner, cliquez sur un sommet.
Sommet choisi : CCC
A produit / gagne15 → 675
B produit / gagne15 → 675
C produit / gagne15 → 675
Quantité totale45
Prix75
Profit du secteur2025
Le gain de la triche, selon ce que font les deux autres
Les deux tiennent+168,75
Un seul triche+112,50
Les deux trichent+56,25
La structure du piège. Tricher rapporte toujours plus, quoi que fassent les deux autres : c'est une stratégie strictement dominante, donc chacune triche, donc on aboutit au sommet « tous trichent » — où les trois gagnent moins qu'au sommet « tous tiennent ». Les flèches du cube, toutes orientées dans le même sens, ne mènent qu'à ce coin-là. Notez au passage que le gain de la triche diminue quand les autres trichent aussi : c'est pourquoi le désastre reste modéré, contrairement au dilemme du prisonnier de manuel.
Le dilemme du prisonnier Deux complices sont arrêtés et enfermés dans des cellules séparées, sans pouvoir communiquer. Le procureur n'a de quoi les condamner que pour un délit mineur, et propose à chacun le même marché : dénonce ton complice et tu sors libre, tandis que ton complice prend dix ans. Chacun doit décider seul, sans savoir ce que fait l'autre.
Quatre issues possibles :
L'autre se tait
L'autre dénonce
Je me tais
1 an chacun
10 ans pour moi, 0 pour lui
Je dénonce
0 pour moi, 10 ans pour lui
5 ans chacun
Le raisonnement Je passe en revue les deux cas possibles. S'il se tait : en me taisant je prends 1 an, en le dénonçant je sors libre — je dénonce.
S'il dénonce : en me taisant je prends 10 ans, en le dénonçant j'en prends 5 — je dénonce encore.
Dénoncer est donc meilleur dans tous les cas de figure : c'est une stratégie strictement dominante. Je n'ai même pas besoin de deviner ce que fait l'autre. Il tient exactement le même raisonnement. Résultat : tous deux dénoncent et prennent 5 ans, alors qu'en se taisant tous deux ils n'auraient pris qu'un an chacun.
le paradoxe Le résultat est un équilibre de Nash — aucun des deux ne regrette son choix étant donné celui de l'autre — mais il est Pareto-dominé : une autre issue était meilleure pour les deux simultanément. La rationalité individuelle, poussée sans faute, produit un résultat que tous deux déplorent. Il n'y a ni erreur de calcul, ni méchanceté : c'est la structure des gains qui piège.
Ce qui fait un dilemme du prisonnier Deux conditions suffisent, avec T (tentation de trahir), R (récompense mutuelle), P (punition mutuelle), S (le sort du naïf trahi) :
T > R > P > S — dans l'exemple, en années évitées : 0 > 1 an > 5 ans > 10 ans.
C'est le seul point qui compte. Tout problème qui a cette structure fonctionne comme un dilemme du prisonnier : la course aux armements, la surpêche, le dopage sportif, la publicité comparative — et le cartel de la planche 3, où R = 675 (tous tiennent), T = 843,75 (je triche seul), P = 506,25 (tous trichent).
Planche 4 — le temps
Combien faut-il être patient pour qu'un cartel tienne ?
Le marché ne dure pas un jour. Si les trois se retrouvent chaque semaine, la triche se paie : les autres la voient et cessent de se retenir pour toujours — c'est la stratégie de gâchette. Le tricheur gagne donc une fois beaucoup, puis toujours peu. Reste à comparer les deux suites, actualisées au facteur δ.
Le nombre est l'ennemi du cartel. À deux, il faut δ ≥ 0,5294 ; à trois, 0,5714 ; à huit, 0,7168. Deux forces se conjuguent : la part du gâteau maigrit quand on est nombreux, et la punition fait moins peur puisque le profit de Cournot, lui aussi, s'effondre. C'est la raison pour laquelle les autorités de concurrence surveillent d'abord les marchés très concentrés — et pourquoi les cartels qui tiennent longtemps sont presque toujours des cartels de trois ou quatre.
Planche 5 — élément signature
Trois entreprises qui s'imitent finissent ruinées
Supposons maintenant qu'aucune ne sache résoudre le modèle. Chacune suit une règle simple, et l'on regarde où le marché atterrit. Quatre règles au choix, la même demande, le même coût, un peu de bruit à chaque période.
Période0
Quantité totale—
Prix—
Profit moyen—
Repères du marché
Cartel — chacune15,00
Cournot — chacune22,50
Walras — chacune30,00
L'épreuve — moyenne des 50 dernières périodes, 30 marchés par règle
Pourquoi l'imitation ruine. Copier la plus profitable semble prudent. Mais tant que le prix dépasse le coût, la plus profitable est toujours la plus grosse : imiter, c'est donc produire toujours plus. Le mouvement ne s'arrête que lorsque être plus gros cesse d'être un avantage, c'est-à-dire exactement quand P = c et que tous les profits sont nuls. Trois entreprises qui se surveillent au lieu de calculer atterrissent ainsi sur l'équilibre concurrentiel — excellent pour le client, fatal pour elles. Les trois autres règles, qui regardent le profit marginal plutôt que le voisin, convergent bien vers Cournot.
Ce que ce jeu n'est pas. Trois entreprises, ce n'est pas un jeu à somme nulle : le profit du secteur varie du simple au double selon les décisions, et la question centrale n'est plus « comment se partager » mais « comment ne pas se détruire ». Ce n'est pas non plus un jeu à deux : avec trois joueurs apparaissent des coalitions possibles — deux entreprises peuvent s'entendre contre la troisième — et un cartel partiel de deux membres, calculable par le même modèle, se révèle toujours instable : la troisième, restée libre, profite de leur retenue sans rien payer. C'est le passager clandestin, et c'est le vrai visage du problème à trois.