Dans tout triangle non équilatéral, le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H sont alignés — et toujours dans le même rapport : OH = 3·OG. Ici, tout est calculé en coordonnées : déplacez A, B ou C et suivez les nombres.
Plaçons l'origine du repère au centre O du cercle circonscrit au triangle. Les trois sommets A, B, C sont alors tous à la même distance R de O — c'est la définition même du cercle circonscrit — donc |A| = |B| = |C| = R.
Précisons une convention d'écriture : une fois O choisi comme origine, chaque point M du plan correspond à un unique vecteur allant de O vers M, noté OM. Par commodité, on note ce vecteur simplement « M », en confondant le point et son vecteur position depuis O. Ainsi, quand on écrit A + B + C, il s'agit en réalité de la somme des vecteurs OA + OB + OC — une opération bien définie, mais qui dépend du choix de l'origine.
Considérons le point P défini par P = A + B + C, c'est-à-dire le point tel que OP = OA + OB + OC. Montrons qu'il s'agit en fait de l'orthocentre H, c'est-à-dire le point où se croisent les trois hauteurs du triangle. Pour cela, il suffit de montrer que P appartient à chacune des trois hauteurs.
Regardons d'abord la hauteur issue de A, la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire au côté opposé [BC]. Le vecteur qui va de A vers P vaut :
AP = P − A = B + C
Comparons-le au vecteur directeur du côté [BC], qui vaut C − B. Leur produit scalaire donne :
(B + C)·(C − B) = C·C − B·B = |C|2 − |B|2 = R2 − R2 = 0
Un produit scalaire nul signifie que les deux vecteurs sont orthogonaux : la droite (AP) est donc perpendiculaire à [BC]. Comme elle passe par A, c'est exactement la hauteur issue de A — et P se trouve dessus.
Le calcul n'a rien de spécifique à A : en échangeant les rôles de A, B et C, on montre de la même façon que P appartient aussi à la hauteur issue de B, puis à celle issue de C. P est donc sur les trois hauteurs à la fois, or celles-ci se coupent toutes en un seul point. On en conclut :
P = H
Reste à faire le lien avec le centre de gravité G, qui est par définition la moyenne des trois sommets : G = (A + B + C)/3. Puisque P = A + B + C = H, on obtient immédiatement :
H = 3G, soit OH = 3·OG
Cette égalité dit deux choses en même temps : que O, G et H sont alignés (OH est un multiple de OG, donc de même direction), et que la distance OH vaut exactement trois fois OG. C'est l'énoncé complet de la droite d'Euler, obtenu ici en quelques lignes de calcul vectoriel, sans distinguer de cas particuliers.
Les calculs numériques de cette page ne supposent à aucun moment ce résultat : O et H y sont déterminés séparément, chacun comme solution d'un système d'équations indépendant. Le fait que l'alignement et le rapport 3 apparaissent ensuite dans les chiffres est donc une vraie vérification de la démonstration ci-dessus, pas une mise en scène d'un résultat déjà supposé connu.