Comment un corps lancé retombe — du ballon de football au satellite
La balistique est l'étude du mouvement d'un corps lancé qui n'est plus poussé. Une fois la main, le tube ou la corde quittés, il ne reste que trois causes possibles : la pesanteur, qui le fait tomber, l'air, qui le freine, et la rotation, qui le fait dévier. Tout le reste — la portée, la forme de la courbe, l'angle qui va le plus loin — se déduit de ces trois causes. Cette page les sépare une à une, chacune sur sa planche, et confronte à chaque fois le calcul pas à pas aux formules classiques.
Un même vol se décompose toujours de la même manière, quel que soit le lanceur : arc, fronde, lance à incendie, tube d'air comprimé ou fusée.
La phase intérieure est la seule où l'on fournit de l'énergie : elle se termine à la sortie, et fixe une fois pour toutes la vitesse et la direction. La phase transitoire dure quelques millisecondes, le temps que le projectile se dégage des gaz ou de la corde. La phase extérieure est le vol libre, objet de presque toute cette page. La phase terminale est ce qui se passe à l'arrivée : l'énergie cinétique accumulée doit être dissipée quelque part.
Sans air, l'accélération est constante et verticale. La trajectoire est alors une parabole exacte, et trois formules suffisent. La courbe ci-dessous n'est pas tracée avec ces formules : elle est intégrée pas à pas (Runge-Kutta d'ordre 4, atterrissage raffiné par dichotomie), puis comparée à elles.
Deux angles donnent la même portée : α et 90° − α, puisque sin 2α ne change pas. Le tir tendu arrive vite et à plat, le tir plongeant arrive lentement et de haut — même point de chute, effets très différents. Le faisceau de tous les angles possibles a une frontière, la parabole de sûreté y = v₀²/2g − g x²/2v₀² : au-delà, rien ne peut être atteint avec cette vitesse. Chaque trajectoire la touche en un point unique, d'abscisse v₀²/(g tan α), et l'écart mesuré en ce point est nul à la précision de la machine.
L'air oppose une force dirigée contre la vitesse et proportionnelle à son carré : a = k·v², avec k = ρ·Cx·A/2m. Un seul nombre, k, résume l'objet. La courbe cesse alors d'être symétrique — et l'angle qui porte le plus loin cesse d'être 45°.
La traînée ne fait pas que raccourcir : elle déforme. La branche descendante devient plus courte et plus raide que la montante, parce que le projectile y va moins vite ; à la limite, un objet très freiné tombe presque à la verticale à vitesse constante √(g/k) — c'est le cas de la balle de ping-pong et du grêlon. L'angle de portée maximale quitte 45° et descend d'autant plus bas que l'objet est freiné : 44° pour la boule de pétanque, 40° pour le ballon, 32° pour la balle de ping-pong. Il devient payant de rester bas pour ne pas gaspiller de temps de vol dans une montée coûteuse. Le contrôle du bas est un bilan d'énergie : la variation d'énergie cinétique doit égaler, au dernier chiffre près, le travail de la traînée intégré le long du chemin. Une réserve honnête : Cx est pris constant, alors qu'il chute brutalement autour d'une vitesse critique — c'est la « crise de traînée », responsable des trajectoires flottantes.
Un corps qui tourne entraîne l'air d'un côté et le freine de l'autre. La pression devient dissymétrique et il apparaît une force perpendiculaire à la fois à la vitesse et à l'axe de rotation. Selon l'inclinaison de cet axe, elle courbe la trajectoire de côté ou la soutient par en dessous.
Axe vertical (0°) : la force est horizontale, le ballon décrit une banane — c'est le coup franc brossé, le lift au tennis vu de dessus, le slice au golf. Axe horizontal (90°) : la force est verticale. Avec de l'effet rétro elle soutient le projectile et peut allonger le vol de moitié ou davantage ; avec du lift elle l'écrase et le fait plonger. Le ballon reçoit ainsi une portance sans avoir d'aile. La force de Magnus étant perpendiculaire à la vitesse, elle ne travaille pas : elle ne donne aucune énergie, elle ne fait que réorienter. Contrôle : renverser le sens de rotation doit renverser exactement la déviation, la somme des deux vaut zéro au bit près. Le coefficient suit ici la loi empirique Cz = 0,385·S1/4, avec S = ωR/v.
Les mêmes équations servent à marquer un panier, à dimensionner une lance à incendie et à comprendre pourquoi une trajectoire de deux cents kilomètres n'arrive pas là où on l'attend.
Le panier. Le ballon (24,2 cm) doit franchir un arceau de 45,7 cm. L'ouverture vue par le ballon vaut 45,7·sin β, où β est l'angle d'entrée : en dessous de 32° l'arceau est plus étroit que le ballon et aucun tir ne peut passer proprement. Il faut donc arriver de haut. Mais monter coûte de la vitesse, et la vitesse est ce que le bras contrôle le plus mal. Le compromis se lit sur la fenêtre de vitesse acceptée, large de quelques centimètres par seconde seulement. L'angle qui demande le moins de vitesse vaut exactement 45° + ½·arctan(Δh/D) ; la page le recherche à l'aveugle par section dorée et retombe dessus — avec la lenteur typique d'un minimum plat, ce qui est précisément la raison pour laquelle les bons tireurs ont une certaine latitude sur l'angle.
La lance. La pression se convertit en vitesse par la relation de Torricelli, v = √(2p/ρ). Sans air, six bars enverraient l'eau à plus de cent mètres — ce qu'aucun pompier n'observe. En gouttes séparées, l'autre extrême, la portée s'effondre à une quinzaine de mètres. La réalité se tient entre les deux bornes que la page calcule : un jet reste d'abord cohérent, donc peu freiné, puis se fragmente et perd tout. Toute la conception d'une lance consiste à retarder cette fragmentation ; c'est pourquoi on obtient beaucoup plus de portée en changeant la buse qu'en augmentant la pression.
La Terre tourne. Sur quelques dizaines de mètres, la rotation terrestre est invisible. Sur deux cents kilomètres et trois minutes de vol, elle ne l'est plus : le sol se déplace pendant le trajet, ce qui se traduit dans le repère local par la force de Coriolis, − 2 Ω × v. La déviation se compte en centaines de mètres, vers la droite dans l'hémisphère nord et vers la gauche dans l'hémisphère sud. Changez le signe de la latitude : le sens s'inverse. Près de l'équateur c'est la composante verticale de la vitesse qui l'emporte, et la déviation part vers l'ouest quel que soit le cap. Le même terme gouverne l'enroulement des dépressions, la dérive des vents et la correction de visée des tirs longs.
Toute la planche 1 repose sur une hypothèse cachée : la pesanteur pointe toujours dans la même direction et garde la même valeur. C'est faux. Elle pointe vers le centre de la Terre et décroît en 1/r². Dès qu'on tire loin, la parabole n'est plus qu'une approximation locale d'une courbe fermée — une ellipse dont un foyer est le centre de la Terre. En poussant la vitesse, cette ellipse cesse de rencontrer le sol : le projectile est en orbite. C'est l'expérience de pensée de Newton, et la même équation décrit un caillou lancé et un satellite.
Le contrôle du premier onglet est double : l'énergie v²/2 − µ/r et le moment cinétique x·vy − y·vx doivent rester constants tout au long de l'intégration, et la période mesurée doit retomber sur celle de Kepler. À 500 km d'altitude, l'orbite se ferme à 7 616 m/s et l'attraction terrestre lâche prise à 10 771 m/s. En dessous, l'ellipse est bien là, mais son périgée tombe sous la surface : elle coupe le sol, et l'on appelle cela retomber. Le second onglet est le plus instructif : on tire depuis le sol, sans atmosphère, et l'on compare la portée vraie à celle qu'annonce v₀²sin2α/g. À 500 m/s l'écart est de deux dixièmes de pour cent, invisible ; à 3 km/s il atteint 7 %, soit soixante-neuf kilomètres. La parabole n'était pas une loi, c'était le premier terme d'un développement. Et la formule exacte de Kepler, tan(Θ/2) = λ sinα cosα /(1 − λ cos²α) avec λ = v₀²R/µ, redonne bien v₀²sin2α/g quand λ tend vers zéro.