Le théorème magique de Conway

Cinq sortes de symboles, cinq prix. Une anse ○ coûte 2. Un miroir * coûte 1, et un croisement × aussi. Un centre de rotation d'ordre n libre coûte (n−1)/n — presque 1 quand n est grand, seulement 1/2 pour un demi-tour. Et un coin d'ordre n posé sur un miroir coûte moitié moins, (n−1)/2n, parce que le miroir en a déjà payé la moitié. Composez une signature ci-dessous et regardez la caisse.

Pourquoi le coin coûte la moitié. Un centre de rotation d'ordre n qui ne touche aucun miroir est entouré de n secteurs équivalents ; posé sur un miroir, il n'en a plus que n demi-secteurs de chaque côté, et le miroir a déjà replié la moitié du voisinage. C'est exactement le facteur 2 qui distingue *2222 de 2222, ou *333 de 333 — et c'est ce facteur qui rend l'addition finale possible.

Énumérons toutes les signatures possibles jusqu'à un ordre donné, et portons-les en fonction de leur coût. Le tableau se sépare de lui-même en trois : à gauche du 2, les groupes de la sphère — rosaces, polyèdres réguliers ; sur la barre du 2, les dix-sept papiers peints ; à droite, le plan hyperbolique, où le nombre de possibilités explose. La barre du 2 n'a aucune épaisseur : c'est une frontière, et toute la question est de savoir combien de points s'y trouvent exactement.

Le coût est une courbure. Pour un orbifold, la formule de Gauss–Bonnet s'écrit ∫K = 2π·χ, et le coût vaut 2 − χ. Une géométrie sphérique impose χ > 0 donc un coût inférieur à 2 ; une géométrie plate impose χ = 0 donc un coût de 2 ; une géométrie hyperbolique impose χ < 0 donc un coût supérieur. L'addition de Conway n'est pas un truc mnémotechnique : c'est Gauss–Bonnet écrit en centimes.

La démonstration est un arbre de cas, et il est court parce que les prix sont minorés : un centre de rotation coûte au moins 1/2, donc il y en a au plus quatre ; un miroir coûte 1, donc il y en a au plus deux ; une anse coûte 2, donc elle est seule. L'énumération complète tient en sept branches, et chacune se ferme à la main.

Pourquoi l'ordre 7 ne sert jamais. Une signature de coût 2 ne peut contenir un centre d'ordre n que si le reste du budget se referme exactement, et les fractions (n−1)/n ne se complètent en 2 qu'avec des dénominateurs 2, 3, 4 et 6. C'est la restriction cristallographique, obtenue ici par une pure comptabilité : on n'a jamais eu besoin de parler de réseau.

De l'autre côté de la frontière, le même comptage donne les groupes de symétrie de la sphère — ceux des rosaces, des flocons et des polyèdres. Il y en a une infinité, mais ils se rangent en sept familles indexées par un entier n, plus sept groupes exceptionnels : ceux du tétraèdre, du cube et du dodécaèdre. Quatorze types en tout, et pas un de plus.

Les sept familles. nn est le groupe cyclique d'ordre n ; *nn lui ajoute des miroirs passant par l'axe ; n* un miroir équatorial ; n× une antiprismatique ; 22n le groupe diédral des rotations ; *22n le prisme complet ; 2*n l'antiprisme complet. Faire tendre n vers l'infini fait tendre le coût vers une limite qui n'atteint jamais 2 : la sphère ne devient jamais plate, elle se contente de s'en approcher.

L'élément décisif. Prenez la signature *pqr — un miroir et trois coins — et laissez le coût décider. Son coût vaut 5/2 − (1/p + 1/q + 1/r)/2 ; il est inférieur, égal ou supérieur à 2 selon que la somme des inverses dépasse 1, l'égale ou lui reste inférieure. Le programme ci-dessous ne sait pas dans quelle géométrie il travaille : il construit trois miroirs à partir des trois angles, les réfléchit les uns dans les autres, et c'est le signe d'un discriminant qui l'envoie sur la sphère, sur le plan ou dans le disque de Poincaré.

sphèreplanhyperbolique

Trois triangles plats, et c'est tout. Les solutions entières de 1/p + 1/q + 1/r = 1 sont (2,3,6), (2,4,4) et (3,3,3) : ce sont les trois seuls triangles qui pavent le plan par réflexions, et ils engendrent p6m, p4m et p3m1. Au-dessus de 1, on tombe sur la liste finie des triangles sphériques ; au-dessous, sur une infinité de triangles hyperboliques dont Escher a gravé quelques-uns — Circle Limit IV est le triangle (4,3,3) mis en anges et démons. Le passage d'un régime à l'autre ne demande pas de changer de programme : il suffit qu'un carré change de signe.